Universite Claude Bernard Lyon Semestre de printemps
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Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2011-2012 UE de Geometrie elementaire Feuille d'exercices no 2 Exercice 1 (Theoreme de Menelaus via les homotheties-translations). Dans le plan affine, soit ABC un triangle non aplati. Soient M,N,P trois points appartenant respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC) et distincts des sommets du triangle ABC. Montrer l'equivalence suivante : M,N et P sont alignes ?? MA MB ? NB NC ? PC PA = 1. On rappelle que pour trois points alignes E,F,G, EF EG designe l'unique scalaire ? tel que ??? EF = ? · ??? EG. Considerons l'application f = hM ? hN ? hP ou hM , hN , hP sont les homotheties de centre respectif M , N , P telles que hM (B) = A, hN (C) = B et hP (A) = C. 1. Supposons le membre de droite vrai. (a) Remarquer que f a un point fixe puis, en considerant Lf , montrer que f est l'identite. (b) Utiliser l'egalite hM ? hN = (hP )?1 pour en deduire que P appartient a (MN). 2. Ici on suppose les points M,N,P alignes.
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Universite Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2011-2012 UE de Geometrie elementaire Feuille d'exercices no 2 Exercice 1 (Theoreme de Menelaus via les homotheties-translations). Dans le plan affine, soit ABC un triangle non aplati. Soient M,N,P trois points appartenant respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC) et distincts des sommets du triangle ABC. Montrer l'equivalence suivante : M,N et P sont alignes ?? MA MB ? NB NC ? PC PA = 1. On rappelle que pour trois points alignes E,F,G, EF EG designe l'unique scalaire ? tel que ??? EF = ? · ??? EG. Considerons l'application f = hM ? hN ? hP ou hM , hN , hP sont les homotheties de centre respectif M , N , P telles que hM (B) = A, hN (C) = B et hP (A) = C. 1. Supposons le membre de droite vrai. (a) Remarquer que f a un point fixe puis, en considerant Lf , montrer que f est l'identite. (b) Utiliser l'egalite hM ? hN = (hP )?1 pour en deduire que P appartient a (MN). 2. Ici on suppose les points M,N,P alignes.
- theoreme de menelaus
- a11 ?
- hyperplan mediateur des points z0
- rn ?
- unique scalaire
- hyperplan
- point fixe
- meme hyperplan
Universit´eClaudeBernard-Lyon1 UEdeG´eom´etrie´el´ementaire
o Feuille d’exercices n2
Semestre de printemps 2011-2012
Exercice 1alsuivlaed´Mnee´´eties-teshomoth)snosnaritalhT(eme`roe´.Dans le plan affine, soitABCun triangle non aplati. SoientM, N, Ptrois points appartenant respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC) et distincts des sommets du triangleABCsecnelav:etnaviurentMo.uieq’´rl M AN BP C M, NetPsoseign´ntal⇐⇒ ××= 1. M BN CP A −→−→ EF Onrappellequepourtroispointsaligne´sE, F, Ggnel’unid´esieri,alacseuqλtel queEF=λ∙EG. EG Conside´ronsl’applicationf=hM◦hN◦hP`uohM,hN,hPtrenecsdctpeeserfisohsmotnelteeito´hM,N,P telles quehM(B) =A,hN(C) =BethP(A) =C. 1. Supposonsle membre de droite vrai. (a) Remarquerquefopnianutnare´donsi,encpuistfixeLf, montrer quef´t.etienidl’ste −1 (b)Utiliserl’´egalit´ehM◦hN= (hPnerude´d)opreuiequPpa(api`earnttM N). 2. Icion suppose les pointsM, N, Palis.gn´e (a) Montrerpar l’absurde quefune translation puis quefsetl’identit´e. (b)Conside´rerLfet conclure.
Exercice 2usenela¨´en´edeM`rme´hoedntutaoiisalern´´eegUn(reeu)pusnire´emidoisn.SoitXun espace affine de dimensionn. Soit (A0, . . . , An`ereaffineed)unrepXmoomid´t.aPcranadasslnneoerotetiuAn+1=A0. Soient M0, . . . , Mndes points deXtels que pour touti∈ {0, . . . , n},Mi(a`tneitrappaAiAi+1)r{Ai, Ai+1}. Le but de l’exercice de montrer que les pointsM0, . . . , Mnaptrpane`teinnyperaunhaffineplanluesteis:istneme M0A0M1A1MnAn (?)∙ ∙ ∙× ×= 1. M0A1M1A2MnA0 Conside´ronsf=h0◦ ∙ ∙ ∙ ◦hno`uhirentcedeieeth’moto´he´isngledMitelle quehi(Ai+1) =Ai. 1.Supposonsl’e´galite´(?) vraie. (a) Montrerquefest une translation puis quef= Id. −−−→ −1 (b)End´eduireque(h0) =h1◦ ∙ ∙ ∙ ◦hnpuis que les vecteursM0Mi,i= 1, . . . , nntli,so´es. 2. Supposonsque lesMisoient dans un certain hyperplanH. (a) Montrerquefntoie.fixnutseetie-traehomoth´yanautpnsnalitno (b) Montrerque sifate´nutito´hhemon(noteeiialetrivrs)aloA0serait dansH. (c) Notonsf0=f´drenossiontcef1=h1◦∙ ∙ ∙◦hn◦h0,f2=h2◦∙ ∙ ∙◦hn◦h0◦h1, . . . ,fn=hn◦h0◦∙ ∙ ∙◦hn−1. Montrer que l’un desfiest Id puis conclure.
Exercice 3e´´ndnMesroienevs)(Uerminantseltte´dtneceseresalrybaa¨elvius.Soit (X, V) un espace affine de dimensionnsur un corpsK. Soit (A0, . . . , Andeu)affinee`errnpeX. −−−→−−−→ On noteraBla base (A0A1, . . . , A0An) deV.
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