Universite Claude Bernard Lyon Licence Introduction aux courbes et surfaces
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 2 – Introduction aux courbes et surfaces Examen, premiere session Mercredi 17 juin 2009 - Duree 2 heures Les documents sont autorises mais les calculettes sont interdites (car inu- tiles). Les exercices sont independants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Le QCM. – On repond par vrai ou faux, sans justifier. Dans les questions, I est un intervalle ouvert non vide et U un ouvert non vide de R2. 1.– Si ? : I ?? R2 est une courbe parametree de classe C1 alors il existe un reparametrage ? : J ?? I tel que ? = ? ? ? soit parametree par la longueur d'arc. 2.– Si ? : I ?? R3, t 7?? (x(t), y(t), z(t)) est reguliere alors la courbe parametree ? : I ?? R2, t 7?? (x(t), y(t)) est elle aussi reguliere. 3.– Si ? : I ?? R2, t 7?? (x(t), y(t)) est reguliere et si z : I ?? R est une fonction de classe C1 quelconque alors ? : I ?? R3, t 7?? (x(t), y(t), z(t)) est elle aussi reguliere.
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Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 2 – Introduction aux courbes et surfaces Examen, premiere session Mercredi 17 juin 2009 - Duree 2 heures Les documents sont autorises mais les calculettes sont interdites (car inu- tiles). Les exercices sont independants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Le QCM. – On repond par vrai ou faux, sans justifier. Dans les questions, I est un intervalle ouvert non vide et U un ouvert non vide de R2. 1.– Si ? : I ?? R2 est une courbe parametree de classe C1 alors il existe un reparametrage ? : J ?? I tel que ? = ? ? ? soit parametree par la longueur d'arc. 2.– Si ? : I ?? R3, t 7?? (x(t), y(t), z(t)) est reguliere alors la courbe parametree ? : I ?? R2, t 7?? (x(t), y(t)) est elle aussi reguliere. 3.– Si ? : I ?? R2, t 7?? (x(t), y(t)) est reguliere et si z : I ?? R est une fonction de classe C1 quelconque alors ? : I ?? R3, t 7?? (x(t), y(t), z(t)) est elle aussi reguliere.
- parametree par la longueur d'arc
- courbe parametree
- introduction aux courbes
- support de ?
- axe de symetrie de la courbe
- classe c∞
- ??
Universit´eClaudeBernardLyon1 Licence 2 – Introduction aux courbes et surfaces Examen,premie`resession Mercredi17juin2009-Dure´e2heures
Lesdocumentssontautoris´esmaislescalculettessontinterdites(carinu-tiles).Lesexercicessontind´ependantslesunsdesautres.Ilseratenucompte delaqualit´edelare´dactionpourl’attributiond’unenote.
Le QCM. –s,xuafuoitsujsnaonepr´Onaivrardp,oisnDansfier.uestlesq 2 Iest un intervalle ouvert non vide etUun ouvert non vide deR.
2 1 1.–Siγ:I−→Resslacedee´rte´marapeunecourbestCalors il existe un reparam´etrageϕ:J−→Itel queδ=γ◦ϕsoiuram´etparperarte´gneualol d’arc.
3 2.–Siγ:I−→R,t−7→(x(t), y(t), z(tbeur))estr´eglu`ireaeolsraloc 2 parame´tre´eδ:I−→R,t→−7(x(t), y(teluatsle)e)re.li`e´egussir
2 3.–Siδ:I−→R,t→−7(x(t), y(teestigelu`irer´st)e)z:I−→Rest une 1 3 fonction de classeCquelconque alorsγ:I−→R,t−→7(x(t), y(t), z(t)) estelleaussire´guli`ere.
2∞ 4.–Soitγ:I−→Re´rgei`uleeerectdsslaC. Si la courbure deγest constante et non nulle, alors le support deγest inclus dans un cercle.
2∞ 5.–Soitγ:I−→Rdeclreetli`e´eguressaC. Si la courbureiqbruea´elg deγest constante et non nulle, alors le support deγest inclus dans un cercle.
6.–Soitγdeportesuporslacnlr´etualpula,nlugedreiγneslpnaerele´ap deuxcomposantes,l’uneborne´el’autrenon.
2 7.–Soientf0, f1: [0,2π]−→Rpsradeocxuebrue´rsilugre`eepsnsaaspant O= (0,0).iSlentlelesoeindmˆemtoredeci(noitai.e.I(f0) =I(f1)) alors
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