Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Rappels de topologie Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Rappels de topologie Annee 2004-2005 1 Exemples d'espace de Banach. Exercice 1 Soit E1 un espace metrique et E2 un espace de Banach. On notera par C(E1, E2) (resp. par Cb(E1, E2)) l'ensemble des applications continues (resp. bornees) de E1 dans E2. a) Montrer que si on munit Cb(E1, E2) de la norme ?f?∞ := supx?E1 ?f(x)?2, alors cet espace est un espace de Banach. b) Montrer que si E1 est compact, alors (C(E1, E2), ? · ?∞) est un espace de Banach. c) On suppose ici que E1 = [a, b] (a, b ? R, a < b) et E2 = R. On considere C1([a, b], R) l'ensemble des fonctions reelles de classe C1 sur [a, b]. On munit cet espace de la norme ?f?1 := ?f?∞ + ?f ??∞, f ? C1([a, b], R). Montrer que (C1([a, b], R), ? · ?1) est un espace de Banach. Exercice 2 On considere 1 l'espace des suites (un)n>1, a valeurs complexes et telles que ∑ n>1 |un| < +∞.
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Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Rappels de topologie Annee 2004-2005 1 Exemples d'espace de Banach. Exercice 1 Soit E1 un espace metrique et E2 un espace de Banach. On notera par C(E1, E2) (resp. par Cb(E1, E2)) l'ensemble des applications continues (resp. bornees) de E1 dans E2. a) Montrer que si on munit Cb(E1, E2) de la norme ?f?∞ := supx?E1 ?f(x)?2, alors cet espace est un espace de Banach. b) Montrer que si E1 est compact, alors (C(E1, E2), ? · ?∞) est un espace de Banach. c) On suppose ici que E1 = [a, b] (a, b ? R, a < b) et E2 = R. On considere C1([a, b], R) l'ensemble des fonctions reelles de classe C1 sur [a, b]. On munit cet espace de la norme ?f?1 := ?f?∞ + ?f ??∞, f ? C1([a, b], R). Montrer que (C1([a, b], R), ? · ?1) est un espace de Banach. Exercice 2 On considere 1 l'espace des suites (un)n>1, a valeurs complexes et telles que ∑ n>1 |un| < +∞.
- meme ?a?1
- espace de banach
- max ?x?1
- troisieme annee
- exemples d'espace de banach
- series dans les espaces de banach
- applications ?
- matrice transposee
Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Ann´ee2004-2005
Rappels de topologie
1 Exemplesd’espace de Banach. Exercice 1SoitE1eeuqtcem´etriunespaE2un espace de Banach. On notera parC(E1, E2) (resp. parCb(E1, E2ee)s)(lr’bop.´ern)desilppasedelbmesneesnutionsconticaE1dansE2. up paceest a) Montrerque si on munitCb(E1, E2) de la normekfk∞:= sx∈E1kf(x)k2, alors cet es un espace de Banach. b) Montrerque siE1est compact, alors (C(E1, E2),k ∙ k∞) est un espace de Banach. 1 c) Onsuppose ici queE1= [a, b] (a, b∈R,a < b) etE2=Rdie`ocsn.nOreC([a, b],R) l’ensemble 1 desfonctionsre´ellesdeclasseCsur [a, b]. On munit cet espace de la norme 01 kfk1:=kfk∞+kfk∞, f∈C([a, b],R). 1 Montrer que (C([a, b],R),k ∙ k1) est un espace de Banach. 1 Exercice 2Oere`disnocn`l’espace des suites (un)n>1avelrucseuq,a`ettellesomplexes X |un|<+∞. n>1 On munit cet espace d’une norme en posant +∞ X 1 kuk1=|un|, u= (un)n>1∈` . n=1 Montrer que (`1,k ∙ k1) est un espace de Banach. ∞ Exercice 3consid`erenO`l’espace des suites (un)n>1es´ernboetesexplmocsruelava`tec0le ∞ sous-espace des suites (un)n>1tendant vers 0. On munit`d’une norme en posant ∞ kuk∞:= sup|un|, u= (un)n>1∈` . n>1 ∞ a) Montrerque (` ,k ∙ k∞) est un espace de Banach. ∞ b) Montrerquec0cefeespaous-tunsseedmre´`e´udE.dn(ueeqirc0,k ∙ k∞) est un espace de Banach. Exercice 4SoitEetFdeuxespacesvotceleirronsse´mnn.OepotarL(E;F) l’ensemble des appli-cationslin´eairescontinuesdeEdansF, muni de la norme ! kT xkF kTk:= supkT xkF= inf= sup{M >0 :kT xkF6MkxkE,∀x∈E}. kxkE x∈E ,kxkE61x∈E ,x6=0 Montrer que siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Exercice 5SoitFunKes-m´e.MontrerqueapecevtcroeinlroL(K;Ftienemquherpmosoitse)irte´mos a`F. Exercice 6SoientE1, . . . , En, Forievectacdeessesposti,stemre´slonf:E1× ∙ ∙ ∙ ×En→Fune applicationmultilin´eaire.Rappelonsquefest continue surE1× ∙∙ ∙×Ensi et seulement sifest continue en (0, . . . ,0) ou si et seulement s’il existeC >0 tels que n Y kf(x1, . . . , xn)kF6CkxikEi,(x1, . . . , xn)∈E1× ∙ ∙ ∙ ×En.(1) i=1 Pourf∈ L(E1, . . . , En;F), on pose kfk:= sup{kf(x1, . . . , xn)kF:xi∈Ei,kxikEi61}.
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