Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Diffferentielles d'ordre superieures Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Diffferentielles d'ordre superieures. Annee 2004-2005 Exercice 1 Soient E et F deux espaces vectoriels normes, U un ouvert de E, f : U ? F une application, a ? U , V un ouvert de E tel que a ? V ? U . On suppose que f|V est differentiable et que f est 2 fois differentiables au point a. Soit (h, k) ? E2. On note ? : V ? F l'application definie par ?(x) = dfx(k). Montrer que ? est differentiable en a et que d?a(h) = d2fa(h, k). Remarque : ce resultat permet de calculer plus simplement des differentielles secondes. Exercice 2 Soient E, F , G des espaces normes, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f : V ? G et g : U ? F deux applications telles que g(U) ? V . On suppose que g est deux fois differentiable au point a ? U et que f est deux fois differentiable au point g(a). On sait (voir cours) que f ? g est deux fois differentiable au point a. Exprimer d2(f ? g)a(h, k), (h, k) ? E2, a l'aide des differentielles premieres et secondes de f (resp.
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Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Diffferentielles d'ordre superieures. Annee 2004-2005 Exercice 1 Soient E et F deux espaces vectoriels normes, U un ouvert de E, f : U ? F une application, a ? U , V un ouvert de E tel que a ? V ? U . On suppose que f|V est differentiable et que f est 2 fois differentiables au point a. Soit (h, k) ? E2. On note ? : V ? F l'application definie par ?(x) = dfx(k). Montrer que ? est differentiable en a et que d?a(h) = d2fa(h, k). Remarque : ce resultat permet de calculer plus simplement des differentielles secondes. Exercice 2 Soient E, F , G des espaces normes, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f : V ? G et g : U ? F deux applications telles que g(U) ? V . On suppose que g est deux fois differentiable au point a ? U et que f est deux fois differentiable au point g(a). On sait (voir cours) que f ? g est deux fois differentiable au point a. Exprimer d2(f ? g)a(h, k), (h, k) ? E2, a l'aide des differentielles premieres et secondes de f (resp.
- solutions de l'equation aux derivees partielles
- composition des applications
- rn ?
- fois differentiable
- espace norme
- differentielle partielle
- differentiable au point
- isometrie
- classe c∞
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´ FEUILLE 5 :DETERMINANTS 1.Claucelesrletd´mierntnaiusstnav:s 1 0 23 4 1 2 3 43 0 1 10 10 0 1 1 10 2 5 4 3 20 2 1 1−1 0 00 a)b)c)d1 0) 32 2 0 1 0 22 4 5 10 00−1 0 1 0−1 2 3 1 0 03 2 4 10 01 0 1 2 11 2 2.sli-slun?tsanivsutsanntsolesvquelPoure`marapsedsruelainrmte´esdleestr 2 2 1a a0a b1−a−ab−ac1λ−λ 2 2 a) 1bb b)a0c c)−ab1−b−bc d)−λ1λ 2 0 1 2cb b0−ac−bc1−c λ−λ1
1 1 11 cosαcos 2α a−b−c2a2a e)b+c c+a a+b f) cosαcos 2αcos 3α g) 2b b−c−a2b bc ca abcos 2αcos 3αcos 4α2c2c c−a−b 3.ean´litiudedt´rinimrete´clac,tnauler:lisinEtumalunalt b+c c+a a+b a1+b1b1b1 2 22 22 2 (a)b+c c+a a+b ,(b)b2a2+b2b2 3 33 33 3 b+c c+a a+b b3b3a3+b3 4.reluclaCtsaninrmte´esdleDnsuivants :
λ0 0anλ0 0an 1 11 1 0 1 1−λ a) 00b) 0c) 1 λ a10 0λ a2 1 1n−λ a aa 0 010n2λ+a1
an a1a1a1a10 0 a b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b . . a a aa 1 2 22.0 . b. .. . . . d)e)f. .) . a1a2a3a3.. . .. . . . . a2 0.. .b b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b a a1a2a3ana1 0 0 5.Soient (an)n>1,(bn)n>1(cn)n>1esdesuitroist.snOe´leerrsonbmetd´lere`eidnscotnanimre
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