Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Quelques corrections Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Quelques corrections. Annee 2004-2005 1 Corrections d'exercices sur la feuille numero 2 : differentielle d'une fonction. Correction de l'exercice ”a faire a la maison” : rappelons d'abord l'enonce. Soit E un espace vectoriel norme et f : E ? L(E) une application differentiable sur E. On definit ? : E ? E par ?(x) := f(x)(x), x ? E. Il s'agit de montrer que ? est differentiable sur E. Premiere methode : a partir de la definition. Comme f est differentiable sur E, cela signifie, qu'en tout point a de E, on a f(a+ h) = f(a) + dfa(h) + ?h??(h), ou dfa ? L(E,L(E)) et ? est une application de E dans L(E), qui tend vers 0 quand ?h? ? 0. Ecrivons alors ?(a+ h) ? ?(a) = f(a+ h)(a+ h) ? f(a)(a) = f(a+ h)(a) + f(a+ h)(h) ? f(a)(a) (par linearite de f(a+ h)) = (f(a) + dfa(h) + ?h??(h))(a) + (f(a) + dfa(
Voir
- corrigé d'exercice - matière potentielle : sur la feuille numero
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Quelques corrections. Annee 2004-2005 1 Corrections d'exercices sur la feuille numero 2 : differentielle d'une fonction. Correction de l'exercice ”a faire a la maison” : rappelons d'abord l'enonce. Soit E un espace vectoriel norme et f : E ? L(E) une application differentiable sur E. On definit ? : E ? E par ?(x) := f(x)(x), x ? E. Il s'agit de montrer que ? est differentiable sur E. Premiere methode : a partir de la definition. Comme f est differentiable sur E, cela signifie, qu'en tout point a de E, on a f(a+ h) = f(a) + dfa(h) + ?h??(h), ou dfa ? L(E,L(E)) et ? est une application de E dans L(E), qui tend vers 0 quand ?h? ? 0. Ecrivons alors ?(a+ h) ? ?(a) = f(a+ h)(a+ h) ? f(a)(a) = f(a+ h)(a) + f(a+ h)(h) ? f(a)(a) (par linearite de f(a+ h)) = (f(a) + dfa(h) + ?h??(h))(a) + (f(a) + dfa(
- theoreme des accroissement fini
- t0 ?
- espace vectoriel de dimension superieure
- differentiable sur ?
- version du theoreme des accroissements finis
- application differentiable
- correction de exercices
- ?h? ?
- corrections d'exercices sur la feuille numero
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Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Anne´e2004-2005
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Quelques corrections.
Correctionsd’exercicessurlafeuillenum´ero2:diff´erentielle d’une fonction.
Correctiondel’exercice”a`faire`alamaison”:´’ldroba’dsnoleprapitSoe.c´onenEun espace vectoriel norme´etf:E→ L(Enu)reneitbaelusreapplicationdiff´Eitfin´endO.ϕ:E→Eparϕ(x) :=f(x)(x), x∈E. Il s’agit de montrer queϕe´ffretsidrusitneelbaE.
Premi`ereme´thode:`apartirdelade´finition. Commefestdruselbaitnere´ffiE, cela signifie, qu’en tout pointadeE, on a
f(a+h) =f(a) +dfa(h) +khkε(h),
ou`dfa∈ L(E,L(E)) etεest une application deEdansL(E), qui tend vers 0 quandkhk →0. Ecrivons alors
ϕ(a+h)−ϕ(a) =f(a+h)(a+h)−f(a)(a) =f(a+h)(a) +f(a+h)(h)−f(a)(a) = (f(a) +dfa(h) +khkε(h))(a) + (f(a) +dfa(h) +khkε(h))(h)−f(a)(a) =dfa(h)(a) +f(a)(h) +khk(ε(h)(a) +ε(h)(h)) +dfa(h)(h) =La(h) +Ra(h),
(parline´arite´def(a+h)) (pardiffe´rentiabilit´edef)
ou`La(h) :=dfa(h)(a) +f(a)(h) etRa(h) :=khk(ε(h)(a) +ε(h)(h)) +dfa(h)(h). Montrons queLadeinuecontreete´ialnnitaoilpciapnetuesEdansEe´nitirade´elaL.Lavient du fait quef(a) etdfareevsi.eLnatcdounttliinnu´eiati´vina:stnoacclluus
kLa(h)k6kdfa(h)(a)k+kf(a)(h)k 6kdfa(h)kL(E)kak+kf(a)kL(E)khk 6kdfakL(E,L(E))khkkak+kf(a)kL(E)khk =kakkdfakL(E,L(E))+kf(a)kL(E)khk,
ce qui montre queLaest continue etkLak6kakkdfakL(E,L(E))+kf(a)kL(E). Montrons queRa(h) =o(khk). Ecrivons que
kRa(h)k6khk(kε(h)(a)k+kε(h)(h)k) +kdfa(h)(h)k 2 6khkkε(h)kL(E)(kak+khk) +kdfakL(E,L(E))khk =khk kε(h)kL(E)(kak+khk) +kdfakL(E,L(E))khk. En utilisant le fait quekε(h)kL(E)tend vers 0 quandkhk →0, on obtient ainsi queRa(h) =o(khk). Par cons´equent,ϕenabletsideneit´ffreaet on a
dϕa(h) =La(h) =f(a)(h) +dfa(h)(a).
Deuxi`ememe´thode:ende´composantϕ’la`nctions”aidedefo.ispmel”s Introduisonsψ:E→ L(E)×Eetφ:L(E)×E→Erdaenifipes´
ψ(x) = (f(x), x), x∈E
etφ(T, a) =T(a),(T, a)∈ L(E)×E.
On a clairementϕ=φ◦ψ. De plus, commefselbruestdiff´erentiaE, l’applicationψesureisffbtldirae´netE, et on a dψa(h) = (dfa(h), h),∀(a, h)∈E×E. D’autre part, l’applicationφuo(teuP.uotrstcontinqu’elleeire´snofiiae´V.ert2esin-lT, a)∈ L(E)×E, on a
kφ(T, a)k=kT(a)klesskTkL(E)kak, ce qui montre queφcqonueontiestc.eunnenOde´ddtiuφedisterff´neitbaelusrL(E)×Eet on a
(T2, h) =φ(T1, h) +φ(T+T2(a). dφ(T1,a) 2, a) =T1(h) Parleth´eor`emedediffe´rentiabilit´edesfonctionscompose´es,onobtientdoncqueϕtnere´ffiruselbaitdesE, et on a dϕa(h) =dφψ(a)(dψa(h)) =dφ(f(a),a)(dfa(h), h) =f(a)(h) +dfa(h)(a).
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