Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 T.D. Serie n?2 : Equations differentielles lineaires (suite) L'objectif de cette serie d'exercices est de poursuivre l'etude des equations differentielles lineaires: cas des systemes a coefficients constants et non diagonalisables, etude qualitative (portrait de phase) et equations d'ordre n. Exercice I. (Systemes non diagonalisables) Soit le systeme differentiel X ?(t) = Jn(?)X(t) ou Jn(?) ? Mn(R) et Jn(?) = ?Id+N ou N ? Mn(R) et Ni,j = ?j,i+1. (a) Donner une matrice fondamentale de solutions pour n = 2, 3. (b) Etendre ce resultat au cas n ? N? quelconque. (c) Meme question pour X ?(t) = ? ? ? 1 0 0 ? 0 0 0 µ ? ?X(t), et ?, µ ? R. Exercice II. (Portrait de phase de systemes lineaires dans le plan) Dans cet exercice, on considere un systeme differentiel dans le plan X ?(t) = AX(t) ou A ? M2(R).
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Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 T.D. Serie n?2 : Equations differentielles lineaires (suite) L'objectif de cette serie d'exercices est de poursuivre l'etude des equations differentielles lineaires: cas des systemes a coefficients constants et non diagonalisables, etude qualitative (portrait de phase) et equations d'ordre n. Exercice I. (Systemes non diagonalisables) Soit le systeme differentiel X ?(t) = Jn(?)X(t) ou Jn(?) ? Mn(R) et Jn(?) = ?Id+N ou N ? Mn(R) et Ni,j = ?j,i+1. (a) Donner une matrice fondamentale de solutions pour n = 2, 3. (b) Etendre ce resultat au cas n ? N? quelconque. (c) Meme question pour X ?(t) = ? ? ? 1 0 0 ? 0 0 0 µ ? ?X(t), et ?, µ ? R. Exercice II. (Portrait de phase de systemes lineaires dans le plan) Dans cet exercice, on considere un systeme differentiel dans le plan X ?(t) = AX(t) ou A ? M2(R).
- portrait de phase
- equation differentielle
- portrait de phase de systemes lineaires
- base de solution
- lineaires d'ordre
- rayon de convergence
Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010
◦ T.D.S´erien2: ´ Equationsdiffe´rentielleslin´eaires(suite)
L’objectifdecettese´ried’exercicesestdepoursuivrel’e´tudedes´equationsdiffe´rentielles lin´eaires:casdessyste`mesa`coefficientsconstantsetnondiagonalisables,e´tudequalitative (portraitdephase)ete´quationsd’ordren.
ExerciceI.(Syste`mesnondiagonalisables) ′ Soitlesyste`mediffe´rentielX(t) =Jn(λ)X(t)o`uJn(λ)∈Mn(R) etJn(λ) =λId+Nuo` N∈Mn(R) etNi,j=δj,i+1. (a)Donner une matrice fondamentale de solutions pourn= 2,3. ∗ (b)cusaatatetEerdn´reclusen∈Nquelconque. (c)ruopnoitseuemeqMˆ λ1 0 ′ X(t) =0λ0X(t), 0 0µ etλ, µ∈R.
ExerciceII.(Portraitdephasedesyste`meslin´eairesdansleplan) ′ Danscetexercice,onconside`reunsyst`emediffe´rentieldansleplanX(t) =AX(t`u)o A∈M2(Rbut de cet exercice est de tracer le). Leportrait de phase..e,imee`tsyseced toutes les trajectoires possibles des solutions. (a)Cas 1:A=λId,λ∈Rque toutes les trajectoires sont des droites passant. Montrer par 0.Donner le sens de parcours selon le signe deλ. (b)Cas 2:A= diag(λ1, λ2) avecλ1λ2>que les trajectoires sont incluses0. Montrer λ2λ1 dans des courbes de la formeK1x=K2y,Ki, i= 1,2 des constantes.Tracer le portrait dephaseenindiquantlesensdeparcoursetenpre´cisantlesdirectionsasymptotiques. (c)euqeoits:3sameˆmCnpourA= diag(λ1,−λ2) avecλ1λ2>0. (d)montrer que les trajectoires deCas 4: ′a−b X(t) =X(t). b a sont des spirales (on poseraz(t) =X1(t) +iX2(t)onetruseiondiff´erentielle´rcriuaene´uqta z). ′ (e)rlieudetecajtres´:5saCseopotriruX(t) =J2(λ)X(t) pourλ∈R. ′ (f )SoitA∈M2(Rctjerastleerdituedserio).rue´euoperqroMtnX(t) =AX(t), on peuttoujoursseramenera`undescaspr´ece´dents.
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