Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 Correction de la feuille de TD 6 (calcul+EDO) Exercice 1 (Calcul de transformees de Laplace) 1. On montre aisement que L[f(.+?)](p) = ep?L[f ](p), L[f(. ?)](p) = ??1L[f ](p/?), L[f(.)e.? ](p) = L[f ](p??). Pour le calcul de L[f ?], on fait une integration par partie: L[f ?](p) = [f(t)e?pt]∞0 + p ∫ ∞ 0 f(t)e?ptdt = pL[f ](p)? f(0). 2. Si f est T periodique, on peut ecrire L[f ](p) = ∞∑ n=0 ∫ (n+1)T nT f(t)e?ptdt = ∞∑ n=0 ∫ T 0 f(s+ nT )e?p(nT+s)ds En utilisant la periodicite de f , on en deduite que L[f ](p) = ( ∞∑ n=0 e?npT ) ∫ T 0 f(s)e?psds = (1? e?pT )?1 ∫ T
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Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 Correction de la feuille de TD 6 (calcul+EDO) Exercice 1 (Calcul de transformees de Laplace) 1. On montre aisement que L[f(.+?)](p) = ep?L[f ](p), L[f(. ?)](p) = ??1L[f ](p/?), L[f(.)e.? ](p) = L[f ](p??). Pour le calcul de L[f ?], on fait une integration par partie: L[f ?](p) = [f(t)e?pt]∞0 + p ∫ ∞ 0 f(t)e?ptdt = pL[f ](p)? f(0). 2. Si f est T periodique, on peut ecrire L[f ](p) = ∞∑ n=0 ∫ (n+1)T nT f(t)e?ptdt = ∞∑ n=0 ∫ T 0 f(s+ nT )e?p(nT+s)ds En utilisant la periodicite de f , on en deduite que L[f ](p) = ( ∞∑ n=0 e?npT ) ∫ T 0 f(s)e?psds = (1? e?pT )?1 ∫ T
- calcul de transformees de laplace
- transformee de laplace sur x?
- x?
- solutions generales de x??
- sin
- exercice precedente
- p2 ?
- transformee de laplace sur l'edo
- resolution d'edo lineaires
- correction de la feuille de td
Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010
Correction de la feuille de TD 6 (calcul+EDO) Exercice1(Calculdetransform´eesdeLaplace) 1.Onmontreais´ementque pτ−1.τ L[f(.+τ)](p) =e L[f](p), L[f(. τ)](p) =τ L[f](p/τ), L[f(.)e](p) =L[f](p−τ). 0 Pour le calcul deL[fiauto,fn´tgeennirapr:eititar]apno Z ∞ 0 −pt∞ −pt L[f](p) = [f(t)e] +p f(t)e dt=pL[f](p)−f(0). 0 0 2. SifestT´eutpeone,qudiiore´percri ∞Z∞Z X X (n+1)T T −pt−p(nT+s) L[f](p) =f(t)e dt=f(s+nT)e ds nT0 n=0n=0 Enutilisantlap´eriodicite´defend´eduitequeno, ∞Z Z X T T −npT−ps−pT−1−ps L[f](p) =e f(s)e ds= (1−e)f(s)e dt. 0 0 n=0 Z 2π −ps 3.D’apre`slaquestionpr´ece´dente,ilsuffitdecalculerf(s)e dspourf= cos et 0 is ftecruqetlactelucroutianept´nvaenfai=sin.Of(s) =eet on identifiera partie re´elleetpartieimaginaire: Z 2π−2πp 1−e p+i is−ps−2πp e eds= =(1−e) 2 p−i p+ 1 0 D’ou`,ens´eparantpartiere´elleetpartieimaginaire: p1 L[cos](p) =, L[sin](p) =. 2 2 p+ 1p+ 1 4. Ona Z ZZ T T/2T−pT /2 2 (1−e) −ps−ps−ps f(s)e ds=e ds−e ds=. p 0 0T /2 Donc −pT /2 2−pT /2 (1−e) 1−etanh(pT /4) −pT /2 L[f](p) == =e . −/pT pT2 p(1−e)p(1 +e)p
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