Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 T.D. Serie n?2,3,4: Seance du 31/03/2010 Les exercices marques d'une etoile sont les exercices traites en TD. 1 Feuille de TD2 Exercice 5.* 1. On va noter X(t) = (x(t), x?(t); x??(t)): dans ce cas, X ?1(t) = x ?(t) = X2(t), X ?2(t) = x ??(t) = X3(t), X ?3(t) = x (3)(t) = ?x??(t) + x?(t) + x(t) = ?X3(t) + X2(t) + X1(t). Ce qui s'ecrit aussi matriciellement sous la forme ? ? X ?1(t) X ?2(t) X ?3(t) ? ? = ? ? 0 1 0 0 0 1 1 1 ?1 ? ? ? ? X1(t) X2(t) X3(t) ? ? 2.
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Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 T.D. Serie n?2,3,4: Seance du 31/03/2010 Les exercices marques d'une etoile sont les exercices traites en TD. 1 Feuille de TD2 Exercice 5.* 1. On va noter X(t) = (x(t), x?(t); x??(t)): dans ce cas, X ?1(t) = x ?(t) = X2(t), X ?2(t) = x ??(t) = X3(t), X ?3(t) = x (3)(t) = ?x??(t) + x?(t) + x(t) = ?X3(t) + X2(t) + X1(t). Ce qui s'ecrit aussi matriciellement sous la forme ? ? X ?1(t) X ?2(t) X ?3(t) ? ? = ? ? 0 1 0 0 0 1 1 1 ?1 ? ? ? ? X1(t) X2(t) X3(t) ? ? 2.
- intervalle d'existence de la solution
- equation differentielle
- espace vectoriel des solutions de y??
- base de solution
- calcul de l'exercice
Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010
◦ T.D.S´erien2,3,4: Se´ancedu31/03/2010
Lesexercicesmarque´sd’unee´toilesontlesexercicestraite´senTD.
1 Feuillede TD2 Exercice 5.* ′ ′′ 1. Onva noterX(t) = (x(t), x(t);x(tce cas,)): dans ′ ′ X(t) =x(t) =X2(t), 1 ′ ′′ X(t) 2=x(t) =X3(t), ′(3)′′ ′ X(t) =x(t) =−x(t) +x(t) +x(t) =−X3(t) +X2(t) +X1(t). 3 Cequis’´ecritaussimatriciellementsouslaforme ′ X(t1 0) 0X1(t) 1 ′ X(t0 1) = 0X2(t) 2 ′ X(t) 11−1X3(t) 3 2.D’apre`sl’exercice3duTD2,lepolynoˆmecaract´eristiquedelamatricecompagnonA estdonne´par 3 22 22 PA(X) =X+X−X−1 =X(X+ 1)−(X= (+ 1)X+ 1)(X−1) = (X(+ 1)X−1). 3 3.D’apre`sleth´eor`emedeCayleyHamiltonPA(A) = 0 doncR= KerPA(Aap). En 3 2 pliquant le lemme des noyaux, on obtientR= Ker(A−1)⊕Ker(A`es’aprD.)1+ l’exercice 3, on sait que les espaces propres sont au plus de dimension 1.On a donc d’une part un vecteur proprev1:e1prrorpeualavla`e´icossaAv1=v1part. D’autre 2 il existe une base de Ker(Apoerceetrurptdarnv’ud’eeepunf)1´mro+v2tel que Av2=−v2et d’autre part (A+ 1)v3=v2qui donne l’existence d’une matrice de. Ce passagePtelle que 1 00 −1 P AP= 0−1 1=J. 0 0−1 Ens’inspirantducalculdel’exercice1c),onobtientlabasedesolutionassocie´eau ′ syst`emeX(t) =J X(t). t e0 0 −t−t Φ(t0) =e te . −t 0 0e
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