Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Option: M2AO
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Serie n?2 : Resolution numeriques des EDO. Exercice 1. Proprietes de stabilite du schema d'Euler a) Un schema d'Euler implicite Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre un { un+1 = un + h f(tn+1, un+1), u0 = u0. b) Un schema d'Euler modifie Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre deux ? ?????? ?????? un+1/2 = un + h 2 f(tn, un), un+1 = un + h f(tn+1/2, un+1/2), tn+1/2 = tn + h/2, u0 = u0. c) Application. Soit l'equation differentielle (k > 0) y? + k y2 = 0, y(0) = 1. (i) Resoudre cette equation differentielle. Quelle est sa limite en t?∞? (ii) Ecrire le schema d'Euler explicite et etudier le comportement de la solution lorsque n tend vers l'infini. (iii) On considere le schema yn+1 ? yn h + k ( yn+1 + yn 2 )2 = 0.
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Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Serie n?2 : Resolution numeriques des EDO. Exercice 1. Proprietes de stabilite du schema d'Euler a) Un schema d'Euler implicite Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre un { un+1 = un + h f(tn+1, un+1), u0 = u0. b) Un schema d'Euler modifie Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre deux ? ?????? ?????? un+1/2 = un + h 2 f(tn, un), un+1 = un + h f(tn+1/2, un+1/2), tn+1/2 = tn + h/2, u0 = u0. c) Application. Soit l'equation differentielle (k > 0) y? + k y2 = 0, y(0) = 1. (i) Resoudre cette equation differentielle. Quelle est sa limite en t?∞? (ii) Ecrire le schema d'Euler explicite et etudier le comportement de la solution lorsque n tend vers l'infini. (iii) On considere le schema yn+1 ? yn h + k ( yn+1 + yn 2 )2 = 0.
- solution exacte
- condition sur ∆t
- methode des trapezes
- ∆t
- schema
- stabilite ?
- caracterisation de la stabilite
- comportement de la solution numerique
- schema d'euler
- proprietes de stabilite du schema d'euler
Universit´eClaudeBernard,LyonI 43, boulevard 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Option: M2AO2007-2008
◦ Se´rien2: R´esolutionnum´eriquesdesEDO.
Exercice1.Proprie´t´esdestabilite´dusche´mad’Euler a)Unsch´emad’EulerimplicitetnoMqrereleuunrerdctnoevgrneetdto’sch´emasuivantes n+1n n+1n+1 u=u+h f(t ,u), 0 u=u0.
b)Unsch´emad’Eulermodifie´ontcrgvevauiesnt´hcssameqrereleuoMtndreredxuneetdto’ h n+1/2nn n u=u+f(ut ,), 2 n+1n n+1/2n+1/2n+1/2n u=u+h f(ut ,), t=t+h/2, 0 u=u0.
c) Application.ientre´eSoe(lle´uqti’ldnffitaoik >0) 02 y+k y= 0, y(0) = 1. (i)R´esoudrecette´equationdiff´erentielle.Quelleestsalimiteent→ ∞? ´ (ii)Ecrirelesch´emad’Eulerexpliciteete´tudierlecomportementdelasolutionlorsquentend vers l’infini. (iii)Onconside`relesch´ema 2 n+1n n+1n y−y y+y +k= 0. h2 n+1n Calculer la solutionyen fonction dey ket ΔtsnoiΔruetdnedu´eeuirconeitndtpour que lecomportementdelasolutionnume´riquesoitcorrectlorsquen→ ∞ertron.Msete´amsehcuqle consistant d’ordre deux.
Exercice2.Unnouveausch´emad’ordree´lev´e ∞+ Soitfune fonction de classeC(IR×IR, IRevantesuinairnois´dre)N.uocstiuadionsloneq’´elleidrore´ffitne 0 u(t) =f(t, u(t)) avecunedonne´einitialeu(0) =u0. (m)∞+ Nousde´finissonsf∈C(IR×IR, IR) par (0) f(t, u(t)) =f(t, u(t)) (m) (m) ∂f ∂f (m+1) f(t, u(t))) =(t, u(t()) +t, u(t))f(t, u(t)), m≥0. ∂t ∂u
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