Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre L3 Fonctions d'une variable complexe

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2008/2009 L3 Fonctions d'une variable complexe Corrigés de quelques exercices tirés du cours de Michèle Audin I.10. Soit z0 ? U , et ? > 0 tel que f soit développable en série entière sur D = D(z0, ?). Sur D, on a : f(z) = +∞ ∑ n=0 an(z ? z0)n = f(z0) + +∞ ∑ n=1 an(z ? z0)n Si an = 0 pour tout n ≥ 1, alors f(z) = f(z0) pour tout z ? D. Donc si f n'est pas constante au voisinage de z0 alors il existe un entier n ≥ 1 tel que an 6= 0 ; appelons m le plus petit tel entier. On a f(z) = f(z0) + (z ? z0)m +∞ ∑ n=m an(z ? z0)n?m = f(z0) + (z ? z0)mg(z) (1) où g est une fonction continue sur D (puisque analytique !) et telle que g(z0) = am 6= 0. Par continuité de g en z0 il existe un voisinage V ? D de z0 sur lequel g ne s'annule pas, et alors l'équation (1) montre que z ? V et f(z) = f(z0) ? z ? V et (z ? z0

z0 ?

cercle de centre

dz z

théorème de liouville

complexe ? de module

série entière au voisinage

théorème d'unicité du développement en série entière

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Théorème de Liouville

Université Claude Bernard Lyon I L3

2nd semestre 2008/2009 Fonctions d’une variable complexe

Corrigés de quelques exercices tirés du cours de Michèle Audin

I.10.Soitz0∈U, etε >0tel quefsoit développable en série entière surD=D(z0, ε). SurD, on a :

+∞+∞ X X n n f(z) =an(z−z0) =f(z0) +an(z−z0) n=0n=1

Sian= 0pour toutn≥1, alorsf(z) =f(z0)pour toutz∈D. Donc sifn’est pas constante au voisinage dez0alors il existe un entiern≥1tel quean6= 0; appelonsmle plus petit tel entier. On a

+∞ X m n−m m f(z) =f(z0) + (z−z0)an(z−z0) =f(z0) + (z−z0)g(z) n=m

(1)

oùgest une fonction continue surD!) et telle que(puisque analytique g(z0) =am6= 0. Par continuité de genz0il existe un voisinageV⊂Ddez0sur lequelgne s’annule pas, et alors l’équation (1) montre que

m z∈Vetf(z) =f(z0)⇔z∈Vet(z−z0)g(z) = 0⇔z=z0.

I.11.Siz∈Uualors il existe un petit disque ouvertDcentré enzsur lequelfprend constamment la valeuru; par conséquent tous les points deDappartiennent àUu(parce queD, qui est ouvert, est un voisinage de chacun de ses éléments). Ceci prouve queUuest ouvert. Pour voir queUuest fermé dansU, prenons une suite(zn)d’éléments deUuet supposons qu’elle converge versz∈U. On doit montrer quez∈Uu. Déjà, notons que commefest continue enzon doit avoir

f(z) =f( limzn) = limf(zn) =u . n→+∞n→+∞

Sizest égal à l’un desznalorsz∈Uu; sinon, tout voisinage dezcontient nécessairement unzndistinct dez(en fait, une inﬁnité...) et par conséquentfprend au moins deux fois la valeurf(z)sur tout voisinage dez. En utilisant le résultat de l’exercice I.10, on voit que ceci n’est possible que sifest constante sur un voisinage dez, autrement ditz∈Uuet doncUuest fermé. Notons que siUest un ouvert connexe, cela signiﬁe que sifest localement constante en un pointz∈U alorsUf(z)est ouvertfermé dansUet non vide, autrement ditUf(z)=Uet en faitfest constante surU.

′ I.17.1. Supposons quefsoit constamment nulle, et soitz0∈U. SoitDun petit disque ouvert contenant P n z0, contenu dansU, et sur lequelfsoit développable en série entière. Soitan(z−z0)son DSE surD; ′ on sait que le développement en série entière defsurDest alors

+∞ X ′n−1 f(z) =nan(z−z0) n=1

′ Commefest identiquement nulle, on en déduit, en utilisant le théorème d’unicité du développement en série entière, quenan= 0pour toutn≥1, c’estàdire quean= 0pour toutn≥1, et donc ﬁnalementf est localement constante au voisinage dez0. Comme ceci est vrai pour toutz0∈Uet queUest connexe, on en déduit quefest en fait constante surU(reprendre l’exercice I.11 si cela vous pose problème !). ′ 2. Supposons maintenant qu’en tout point deUon aitf(z) = 0ouf(z) = 0. On veut montrer quefest constante ; pour nous simpliﬁer un peu la vie cidessous, supposons (quitte à remplacerfparf+C, ce qui ne change rien au problème) quefprend la valeur0surU. 2 Alors introduisons la fonctiongdéﬁnie surUparg(z) = (f(z)). Cette fonction est analytique surU, et

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