Universite Claude Bernard Lyon I
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence “Sciences et technologie” Premiere annee Unite d'enseignement Math I Correction de l'epreuve de mathematiques Session de JANVIER 2005 5 janvier 2005 ? duree : 2 heures gnificatif. Exercice 1 1. Utilisons un DL pour etudier f(x) = ln(cos x + sinx) dans un voisinage de zero. f(x) = ln(1 + x + x?(x)) = x + x?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. Donc, f(x) est equivalente a x en zero. 2. lim x?0 (cosx + sinx)1/x = lim x?0 e 1 x ln(cosx+sinx) Or, d'apres ce qui precede limx?0 1x ln(cos x+sinx) = 1. Il en resulte que limx?0(cosx+ sin x)1/x = e1 = e. Exercice 2 1. On sait que ln(1+ x) = x? x 2 2 + x3 3 ? x4 4 + x 4?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. 2. On en deduit que (1 + x)1/x =exp( 1x ln(1 + x)) =exp(1 ? x 2 + x2 3 ? x3 4 + x 3?(x)).
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Universite Claude Bernard Lyon I Licence “Sciences et technologie” Premiere annee Unite d'enseignement Math I Correction de l'epreuve de mathematiques Session de JANVIER 2005 5 janvier 2005 ? duree : 2 heures gnificatif. Exercice 1 1. Utilisons un DL pour etudier f(x) = ln(cos x + sinx) dans un voisinage de zero. f(x) = ln(1 + x + x?(x)) = x + x?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. Donc, f(x) est equivalente a x en zero. 2. lim x?0 (cosx + sinx)1/x = lim x?0 e 1 x ln(cosx+sinx) Or, d'apres ce qui precede limx?0 1x ln(cos x+sinx) = 1. Il en resulte que limx?0(cosx+ sin x)1/x = e1 = e. Exercice 2 1. On sait que ln(1+ x) = x? x 2 2 + x3 3 ? x4 4 + x 4?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. 2. On en deduit que (1 + x)1/x =exp( 1x ln(1 + x)) =exp(1 ? x 2 + x2 3 ? x3 4 + x 3?(x)).
- unite d'enseignement math
- correction de l'epreuve de mathematiques
- table de multiplication de z
- nulle en zero
- theoreme de taylor-young
- mor- phisme de groupes ?
gnificatif.
Universit´eClaudeBernardLyonI Licence “Sciences et technologie” Premi`ereann´ee Unit´ed’enseignementMathI Correctiondel’epreuvedemathe´matiques Session de JANVIER 2005 5 janvier 2005−udee´rhe:2esur
Exercice 1 1. Utilisonsun DL pour etudierf(x) = ln(cosx+ sinx) dans un voisinage de zero.
f(x) = ln(1 +x+x(x)) =x+x(x), ouest une fonction de limite nulle en zero. Donc,f(x) est equivalente axen zero. 2. 1 1/xln(cosx+sinx) x lim(cosx+ sinxlim) =e x→0x→0 1 Or, d’apres ce qui precede limx→0ln(cosx+sinx) = 1.Il en resulte que limx→0(cosx+ x 1/x1 sinx) =e=e. Exercice 2 2 3 4 x x x4 1. Onsait que ln(1+x) =x−+−+x (x),ouest une fonction de limite 2 3 4 nulle en zero. 2 3 1/x1xx x3 2. Onen deduit que (1+x) =exp(ln(1 +x)) =exp(1−+−+x (x)). x2 34 D’ou par composition de DL, 2 32 33 x xx1x x1x 1/x3 (1 +x) =e(1−+−+ (−2 )−+x (x)), 2 34 24 66 8 2 3 x x x 1/x3 (1 +x) =e(1−+ 11−7 +x (x)). 2 2416 1/x (1+x)−e ex 3. estdonc equivalent en zero a−=−e/2. D’ou xcosx2x 1/x (1 +x)−e lim =−e/2. xcosx x→0 . 1
