UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON I

´UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYONI
De nouveaux r´esultats sur la g´eom´etrie des
mosa¨ıques de Poisson-Voronoi et des
mosa¨ıques poissoniennes d’hyperplans.
Etude du mod`ele de fissuration de
R´enyi-Widom.
Th`ese soutenue le 5 d´ecembre 2002
par
Pierre CALKA
en vue de l’obtention du
Diplˆome de Doctorat
(arrˆet´e du 30 mars 1992)
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
Composition du jury :
Fran¸cois BACCELLI Professeur (ENS)
Andr´e GOLDMAN Professeur (Universit´e Lyon 1), Directeur de th`ese
Christian MAZZA Professeur (Universit´e Lyon 1)
Ilya MOLCHANOV Professeur (Universit´e de Berne, Suisse), Rapporteur
Didier PIAU Professeur (Universit´e Lyon 1)
Dietrich STOYAN Professeur (Universit´e de Freiberg, Allemagne), Rapporteur
Pierre VALLOIS Professeur (Universit´e Nancy 1)
194-2002Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier Andr´e Goldman qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie al´eatoire
avec une passion communicative. Toujours attentif au cours de ces trois ann´ees, il m’a
fait profiter de ses connaissances ´etendues et de sa grande imagination math´ematique.
Son intuition et ses encouragements m’ont apport´e la d´etermination pour approfondir
certaines pistes de recherche. Ce travail lui doit beaucoup, qu’il trouve ici le t´emoignage
de ma profonde gratitude.
Ilya Molchanov et Dietrich Stoyan m’ont fait un grand honneur en acceptant d’ˆetre
les rapporteurs de cette th`ese. Je leur suis reconnaissant du soin qu’ils ont apport´e `a la
lecture du texte et de toutes les remarques int´eressantes dont ils m’ont fait part.
Je remercie Christian Mazza et Didier Piau pour leur disponibilit´e, l’int´erˆet qu’ils ont
port´e `a mon travail et les discussions enrichissantes que j’ai eues avec chacun d’eux. Leur
pr´esence dans ce jury m’honore et me touche particuli`erement.
Franc¸ois Baccelli a toute ma gratitude pour m’avoir fait l’honneur de faire partie de
mon jury.
Je remercie par ailleurs chaleureusement Pierre Vallois et Andr´e M´ezin pour m’avoir
accord´e leur confiance en me proposant de travailler avec eux sur le probl`eme de la fissu-
ration. Je suis tr`es reconnaissant `a Pierre Vallois de m’avoir permis `a plusieurs reprises
d’exposer nos travaux, ainsi que d’avoir accept´e d’ˆetre dans ce jury.
Je tiens ´egalement `a remercier tous les membres du laboratoire qui m’ont apport´e
leur aide pour des questions de math´ematiques propres `a la th`ese, les enseignements,
les probl`emes informatiques ou autres. Je pense en particulier `a Alexis, Anne, Eric,
Fr´ed´erique, Gabriela, Jean, Jean-Baptiste, Mariam, Nadine, Nicolas, Pierre, V´eronique
et Madame Lefranc.
Merci enfin `a mes proches dont le soutien a ´et´e essentiel tout au long de mes ´etudes.Table des mati`eres
Introduction. 7
1 La cellule typique comme moyen d’´etude statistique d’une mosa¨ıque
al´eatoire stationnaire. 12
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 La formule de Slivnyak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 La mosa¨ıque de Poisson-Voronoi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 La mosa¨ıque de Johnson-Mehl.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 La mosa¨ıque poissonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 R´esultats sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques des mosa¨ıques
de Poisson-Voronoi et poissoniennes de droites dans le plan. 28
2.1 Introduction et pr´esentation des principaux r´esultats. . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Notations et contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 R´esultats connus sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques fon-
damentales de la cellule typique de Poisson-Voronoi. . . . . . . . . . 28
2.1.3 R´esultats connus sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques fon-
damentales des cellules typique et de Crofton d’une mosa¨ıque pois-
sonienne de droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Pr´esentation des nouveaux r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 The explicit expression of the distribution of the number of sides of the
typical Poisson-Voronoi cell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Precise formulas for the distributions of the principal geometric characte-
ristics of the typical cells of a two-dimensional Poisson-Voronoi tessellation
and a Poisson line process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 The distributions of the smallest disks containing the Poisson-Voronoi ty-
pical cell and the Crofton cell in the plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
53 La fonction spectrale des mosa¨ıques de Poisson-Voronoi et de Johnson-
Mehl. 71
3.1 Pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 On the spectral function of the Poisson-Voronoi cells. . . . . . . . . . . . . 75
4 Quelques cons´equences de l’identit´e entre cellule typique et cellule em-
pirique pour la mosa¨ıque poissonienne d’hyperplans d-dimensionnelle. 101
4.1 Pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Poissonian tessellations of the Euclidean space. An extension of a result of
R. E. Miles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Une preuve rigoureuse d’un r´esultat de R. E. Miles sur les mosa¨ıque
poissoniennes ´epaissies. 115
5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Arigorousproofofaresult ofR.E.Miles concerning thethickened Poisson
dhyperplane process inR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Mod´elisation stochastique d’un ph´enom`ene unidirectionnel de fissura-
tion. 129
6.1 Introduction et pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Stochastic modelling of a unidirectional multicracking phenomenon. . . . . 133
7 Annexes. 165
7.1 An elementary proof of the equality EN (C) = 6. . . . . . . . . . . . . . . 1650
7.2 On the spectral function of the Johnson-Mehl cells. . . . . . . . . . . . . . 167
7.3 A new calculation of the moments of the unoccupied part of a circle by a
random covering of i.i.d. intervals of fixed length. . . . . . . . . . . . . . . 185
Probl`emes ouverts. 189
Liste des publications. 193
Bibliographie 195
6Introduction.
La g´eom´etrie al´eatoire remonte, comme la tradition le veut `a l’exp´erience de l’aiguille
de Buffon en 1777, au paradoxe de Bertrand sur les probabilit´es g´eom´etriques, et `a la
r´eplique fournie par H. Poincar´e qui a conduit `a la naissance de la g´eom´etrie int´egrale
puis de la g´eometrie stochastique (terme introduit par D. G. Kendall, K. Krickeberg et
R. E. Miles en 1969). On pourra consulter par exemple les ouvrages classiques de H.
Solomon [84], L. A. Santal´o [77]. et G. Matheron [48]. De nos jours ce domaine a pris
une telle extension, du fait notamment de ses innombrables implications dans les sciences
exp´erimentales qu’il n’est pas possible d’en donner une vue exhaustive dans un volume
raisonnable de lignes. Nous renvoyons pour cela aux excellents ouvrages de P. Hall [32],
D. Stoyan et alt. [86], I. S. Molchanov [62], B. D. Ripley [76], etc.
Dans cette th`ese, nous avons abord´e quatre domaines de la g´eom´etrie stochastique.
A. Les mosa¨ıques de Poisson-Voronoi;
B. les mosa¨ıques de Johnson-Mehl;
C. les mosa¨ıques poissoniennes d’hyperplans;
D. le mod`ele de fissuration de R´enyi-Widom.
A. Le principe de la construction de la mosa¨ıque de Voronoi est le suivant. On se donne
un sous-ensemble localement fini P d’un espace m´etrique sous-jacent (E,d), puis `a tout
´el´ement x∈P (appel´e germe), on associe la cellule
′ ′C(x) ={y∈E;d(y,x)≤d(y,x)∀x ∈P},
constitu´ee des points de E les plus proches de x. Dans le cas euclidien, on obtient ainsi
une partition de l’espace en poly`edres convexes bord´es par des portions d’hyperplans
m´ediateurs des segments entre germes. Cette mosa¨ıque fut introduite dans un cadre
d´eterministe en dimension deux par G. L. Dirichlet [18] en 1850, puis en dimension
sup´erieure par G. Voronoi [91] en 1908. Leur motivation ´etait de r´esoudre des probl`emes
de minimisation de formes quadratiques prises sur des vecteurs `a coordonn´ees enti`eres.
En 1953, dans le but de mod´el