UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 7 21 avril 2008 Exercice 1. On considere l'application f : R2 ?? R (x, y) 7?? x3 ? 2xy + 2y2 ? 1 1. Montrer que le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). Reponse : Pour repondre a cette question, la premiere chose a faire est de verifier si le point donne, en l'occurrence (1, 1) est sur la courbe d'equation f (x, y) = 0. Ensuite, il faut determiner les valeurs des derivees partielles de f par rapport a ses deux variables au point (1, 1). Notons que sur tout voisinage de (1, 1) ces derivees partielles existent puisque f ? C∞(R2). Les regles de derivation montrent que ∂f ∂x (x, y) = 3x 2 ? 2y ∂f ∂y (x, y) = ?2x+ 4y En (1, 1), ces derivees admettent les valeurs 1 et 2 respectivement. Comme les deux valeurs sont non nulles, le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). La conclusion est la suivante : il existe un voisinage V de 1 (si vous voulez, dans ce cas particulier vous pouvez remplacer cette derniere utilisation du mot “voisinage” par “intervalle ouvert”), un
Voir
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 7 21 avril 2008 Exercice 1. On considere l'application f : R2 ?? R (x, y) 7?? x3 ? 2xy + 2y2 ? 1 1. Montrer que le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). Reponse : Pour repondre a cette question, la premiere chose a faire est de verifier si le point donne, en l'occurrence (1, 1) est sur la courbe d'equation f (x, y) = 0. Ensuite, il faut determiner les valeurs des derivees partielles de f par rapport a ses deux variables au point (1, 1). Notons que sur tout voisinage de (1, 1) ces derivees partielles existent puisque f ? C∞(R2). Les regles de derivation montrent que ∂f ∂x (x, y) = 3x 2 ? 2y ∂f ∂y (x, y) = ?2x+ 4y En (1, 1), ces derivees admettent les valeurs 1 et 2 respectivement. Comme les deux valeurs sont non nulles, le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). La conclusion est la suivante : il existe un voisinage V de 1 (si vous voulez, dans ce cas particulier vous pouvez remplacer cette derniere utilisation du mot “voisinage” par “intervalle ouvert”), un
- premiere methode
- equations sur les premieres derivees au meme point
- deuxieme methode
- derivees partielles
- coordonnees du point correspondant
- r2 ??
´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko InstitutCamilleJordanTravauxdirig´es:T.Altınel,T.Eisenk¨olbl&S.Richard
Exercice 1. Onconside`re
l’application
Math IV, analyse (L2) – Fiche 7
f
:
2 R (x, y)
21 avril 2008
−→ 7−→
R 3 2 x−2xy+ 2y−1
1.Montrerquelethe´ore`medesfonctionsimplicitess’appliqueaupoint(1,1). Re´ponse:rd`ecateetuqseitPourr´eponiafa`esovedtseerreap,lonchre`emifiers´eriointilep donne´,enl’occurrence(1,1)´ed’atqucolabeurserustoinf(x, y)utd´eterite,ilfa=.0nEusselrenim valeursdesde´riv´eespartiellesdefsvaaurpidabeluexasesooirntt`arpppra(1,1). Notons que sur ∞2 tout voisinage de(1,1)e´dsecpsee´virartiellesexistenptiuqseuf∈ C(R)es.Legr`sdle´eedavirnoit montrent que
∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y
=
=
2 3x−2y
−2x+ 4y
En(1,1)´dsec,enttmeades´eiveravxuruellemmedseonsstru1ster2ltseavelement.Coespectiv nonnulles,lethe´or`emedesfonctionsimplicitess’appliqueaupoint(1,1). La conclusion est la suivante : il existe un voisinageVde 1 (si vous voulez, dans ce cas particulier vous pouvez remplacer cettedernie`reutilisationdumot“voisinage”par“intervalleouvert”),unvoisinageWde 1 et une ∞ applicationφdeVversWdemˆemecete´iravibalssdedet´liueeqf, doncC, surVtelle que pour 2 toute paire(x, y)∈Ry=φ(x)si et seulement sif(x, y)= 0. En particulier,φ(1)= 1.
Ilconvientdefaireuneremarque.Danscequipre´ce`de,nousavonsunpeutroptravaill´eparce qu’ilauraitsuffiquedeve´rifierqu’en(1,1)a`tresalrrapoppatiarleeliverep´eiablecdo´nldaevar nes’annulepas.Letravailsupple´mentaire,etlethe´ore`medefonctionsimplicites,permettentde conclure qu’on peut localement exprimerxen fonction deyaussi. 2.Trouverlapentedelatangente`alacourbed’e´quationf(x, y)= 0au point(1,1)aserl´ecietpr positiondelacourbeparrapporta`satangenteencepoint. R´eponse:etitgeaneledroadbruo´’de`etncalaLad´eteredaleptnimanitnoitnoqeauf(x, y)= 0 au point(1,1)edroba’smxuededresodth´eenerff´diet.speut Lapremi`erem´ethodeconsistea`e´tudierdirectementl’´equationf(x, y)= 0 aux voisinagesVetW dontl’existencea´ete´assure´eparlethe´or`emedesfonctionsimplicites.Commesurcesvoisinages y=φ(x)uqviua`ate´f(x, y)ionrcritne´notclefaxpseonuvmetecili=opsuon,0f(x, y)et traiter la variableycomme une fonction dexaevsisriboaneplar.rapportt`ea´cdertetveidreer’nlix`eerrpe Pluspr´ecis´ement,l’e´quation 3 2 x−2xφ(x)+ 2φ(x)−1 = 0 donneapre`sde´rivationparrapport`ax
20 0 3x−2φ(x)−2xφ(x)+ 4φ(x)φ(x)= 0.
