UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 6 7 avril 2008 Exercice 1. Determiner la borne superieure de la fonction f : R2 ? R definie par f (x, y) = 3xy ? 3x2 ? y3 sur le compact K = [?1, 1] ? [?1, 1]. Reponse : a) On commence par determiner les points stationnaires, c'est-a-dire les points de R2 sur lesquels les deux derivees partielles s'annulent. On a ∂f ∂x (x, y) = 3y ? 6x et ∂f ∂y (x, y) = 3x ? 3y 2 . Les solutions du systeme defini par les equations ∂f∂x (x, y) = 0 et ∂f∂y (x, y) = 0 sont (0, 0) et (14 , 12 ). La nature de ces deux points stationnaires peut etre obtenue a partir de la connaissance des matrices Hessiennes en ces deux points. Pour ce faire, remarquons que ∂2f ∂x2 (x, y) = ?6, ∂2f ∂y2 (x, y) = ?6y et ∂2f ∂x∂y (x, y) = 3 . Les matrices Hessiennes aux points (0, 0) et (14 , 12 ) sont donc respectivement egales a ( ?6 3 3 0 ) et ( ?6 3 3 ?3 )
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UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 6 7 avril 2008 Exercice 1. Determiner la borne superieure de la fonction f : R2 ? R definie par f (x, y) = 3xy ? 3x2 ? y3 sur le compact K = [?1, 1] ? [?1, 1]. Reponse : a) On commence par determiner les points stationnaires, c'est-a-dire les points de R2 sur lesquels les deux derivees partielles s'annulent. On a ∂f ∂x (x, y) = 3y ? 6x et ∂f ∂y (x, y) = 3x ? 3y 2 . Les solutions du systeme defini par les equations ∂f∂x (x, y) = 0 et ∂f∂y (x, y) = 0 sont (0, 0) et (14 , 12 ). La nature de ces deux points stationnaires peut etre obtenue a partir de la connaissance des matrices Hessiennes en ces deux points. Pour ce faire, remarquons que ∂2f ∂x2 (x, y) = ?6, ∂2f ∂y2 (x, y) = ?6y et ∂2f ∂x∂y (x, y) = 3 . Les matrices Hessiennes aux points (0, 0) et (14 , 12 ) sont donc respectivement egales a ( ?6 3 3 0 ) et ( ?6 3 3 ?3 )
- points stationnaires
- matrices hessiennes aux points
- r3 ?
- application de classe c1
- classe c∞
- expressions explicites aux points
´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1Cours: O. Kravchenko InstitutCamilleJordanTravauxdirig´es:T.Altınel,T.Eisenk¨olbl&S.Richard
Math IV, analyse (L2) – Fiche 6
7 avril 2008
Exercice 1. 2 De´terminerlabornesup´erieuredelafonctionf:R→Reparefinid´
sur le compactK= [−1,1]×[−1,1].
2 3 f(x, y)= 3xy−3x−y
2 R´eponse:)aocnOnemmapeciotnssatitnoanrird´eterminerlesptniopseledsst’e,cesredia`R surlesquelslesdeuxde´riv´eespartielless’annulent.Ona ∂f ∂f 2 (x, y)= 3y−6xet(x, y)= 3x−3y . ∂x ∂y ∂ ∂1 1 Lessolutionsdusyste`mede´finiparlese´quations(x, y)= 0 et(x, y)= 0 sont(0,0)et(,). La ∂x ∂y4 2 naturedecesdeuxpointsstationnairespeuteˆtreobtenuea`partirdelaconnaissancedesmatrices Hessiennes en ces deux points. Pour ce faire, remarquons que 2 22 ∂ f∂ f∂ f (x, y)=−6,(x, y)=−6yet(x, y)= 3. 2 2 ∂x ∂y∂x∂y 1 1 Les matrices Hessiennes aux points(0,0)et(,)speesivcttdoncronegt´enem`aesal 4 2 −6 3−6 3 et. 3 03−3 SoitMune de ces matrices. Rappelons que siMadmet deux valeurs propres positives, alors le point 2 deRtriclamae,sirairoctn.luAolacmimuinnmtueseel´cualctseecirtamettecoprueluqleeM admetdeuxvaleurspropresn´egatives,alorslepointconsid´er´eestunmaximumlocal.Silamatrice admetunevaleurproprene´gativeetl’autrevaleurproprepositive,lepointconsid´ere´n’estniun maximum ni un minimum, mais un point selle. Finalement, si une des valeurs propres est nulle, on nepeutpasconclureetuntravailsuppl´ementaireestne´cessaire. Pourconnaıˆtrelesignedesvaleurspropres,iln’estheureusementpasne´cessairedede´terminer exactementcesvaleurs.Eneffet,led´eterminantdelamatriceMitdusvdeeualrsee´tsalagorpu propres.Doncsilede´terminantestn´egatifounul,lepointconsid´ere´n’estpasunextremum.En revanche,siled´eterminanteststrictementpositif,alorslepointconside´re´estunextremum.Pour savoirsilesdeuxvaleurspropressontpositivesoune´gatives,ilsuffitalorsdecalculerlatracede lamatrice(sommedese´l´ementsdiagonaux).Eneffet,latracecorrespond`alasommedesvaleurs propres, et donc si la trace est positive, les deux valeurs propres sont positives et l’on a donc affaire a`unminimumlocal,alorsquesilatraceestn´egative,lesdeuxvaleurspropressontn´egativeset l’onaaffairea`unmaximumlocal. Danslasituationpropose´edanscetexercice,cettediscussionmontreclairementque(0,0)est un 1 11 11 point selle alors que(,)est un maximum local, avecf(,)= . 4 24 216 b)Ayantde´termin´elespointsstationnaires,quisontlespremierscandidatspourconnaˆıtreles 2 points deRsur lesquels la fonctionfsmailnoues,iemaltx´rruesavelsdseenprreidute´tnanetnf
