UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard

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01 mars 2008

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 2 3 mars 2008 Exercice 1. Pour une fonction de deux variables on considere trois types de limites vers le point (a, b) ? R2 : (A) lim (x,y)?(a,b) f (x, y); (B) limx?a (limy?b f (x, y)); (C) limy?b ( limx?a f (x, y)). On considere les applications suivantes : f1(x, y) = x 2 ? y2 x2 + y2 , f2(x, y) = xy x2 + y2 , f3(x, y) = sinx y , f4(x, y) = 1 x2 + y2 + 1 . Pour chacun fonction, determiner le plus grand sous-ensemble de R2 sur lequel elle est bien definie, et montrer ensuite sur ces exemples que pour (a, b) = (0, 0) : 1. Deux de ces trois limites peuvent exister sans que la troisieme existe, 2. Une de ces trois limites peut exister sans que les deux autres existent, 3. (B) et (C) peuvent exister sans etre egales, 4.

coordonnees polaires

continuite aux points

point fixe de r2

depend de ?

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Travail Coordonnées polaires

´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1Cours: O. Kravchenko InstitutCamilleJordanTravauxdirig´es:T.Altınel,T.Eisenk¨olbl&S.Richard

Math IV, analyse (L2) – Fiche 2

3 mars 2008

Exercice 1. 2 Pourunefonctiondedeuxvariablesonconside`retroistypesdelimitesverslepoint(a, b)∈R:

(A)limf(x, y); (x,y)→(a,b)

(B)lim(limf(x, y)); x→a y→b

Onconside`relesapplicationssuivantes:

2 2 x−y f1(x, y)=, 2 2 x+y

xy f2(x, y)=, 2 2 x+y

(C)lim(limf(x, y)). y→b x→a

sinx f3(x, y)=, y

1 f4(x, y)=. 2 2 x+y+ 1

2 Pourchacunfonction,d´eterminerleplusgrandsous-ensembledeRrlsunie,d´eﬁibneeetselllqeeu et montrer ensuite sur ces exemples que pour(a, b)=(0,0): 1.Deuxdecestroislimitespeuventexistersansquelatroisi`emeexiste, 2. Unede ces trois limites peut exister sans que les deux autres existent, 3.(B)et(C)peuventexistersanseˆtree´gales, 4.Si(A)et(B)existentalorsellessonte´gales.

2 R´eponse:Les fonctionsf1etf2tnosﬁe´dneibsurniesR\ {(0,0)},f3sebte´nﬁeidnsuier{(x, y)∈ 2 2 R|y6= 0}etf4btsednei´eﬁniesurtoutR. Calculonsmaintenantlesdiﬀe´renteslimitespourchacunedecesfonctions:Poury6= 0 on a limx→0f1(x, y)=−’d,1ulo`imy→0limx→0f1(x, y)=−1. Pourx6= 0, on a limy→0f1(x, y)= 1, d’o`ulimx→0limy→0f1(x, y)nanaguloef.Dcoa¸1=op,eruy6= 0 on a limx→0f2(x, y),d’o=0u` limy→0limx→0f2(x, y)= 0, et pourx6= 0, on a limy→0f2(x, y)=,0’d`olumix→0limy→0f2(x, y)= 0. 1 Remarquons cependant que limx→0f2(x, x)Similairement, pour= .y6= 0 on a limx→0f3(x, y)= 0, 2 d’o`ulimy→0limx→0f3(x, y)= 0, et pourx6= 0 mais|x|< π, on a limy→0f3(x, y)=±∞. Finalement, 1 poury6= 0 on a limx→0f4(x, y)=2’d,imo`uly→0limx→0f4(x, y)= 1, et pourx6= 0, on a y+1 1 limy→0f4(x, y)=2ilm,d`u’ox→0limy→0f4(x, y)ons,reainodroocnlopsee´n=1.Enpassante x+1 1 remarque que|f4(rcos(θ), rsin(θ))| ≤2avec 1+r lim|f4(rcos(θ), rsin(θ))|= 1. r→0 Pourf4nonafioctfonctionquecetteitnedtleseltqeouegt´eunp,oreuqramertnemela(x, y)7→1 et 2 2 de la fonction(x, y)7→x+yqui admettent des limites pour+ 1(x, y)→(0,0)(et que cette limite n’estpas0pourled´enominateur)etdeve´riﬁerquedansunetellesituation,lafonctionquotient admet une limite en(0,0)qui n’est rien d’autre que le quotient des limites. Pourf2, les limites selon (B) et (C) existent, mais la limite selon (A) n’existe pas. Pourf3, seul la limite selon (C) existe, les limites selon (A) et (B) n’existent pas. Pourf1, les limites selon (B) et(C)existentmaisnesontpase´gales.Lalimiteselon(A)n’existedoncpaspourcettefonction. Finalement, la limite selon (A) impliquant les deux autre, il est clair que l’existence de la limite selon (A) pour la fonctionf4mpiedeslit´´egaetl’neecixtslee’iluqettceurpoC)t(e)B(nolessetimil fonction.

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