UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 11 26 mai 2008 Exercice 1. Calculer l'aire du domaine de R2 limite par les courbes d'equation y = ax , y = x/a , y = b/x , y = 1/bx , ou a > 1 , b > 1 . Reponse : On notera D le domaine dont on veut calculer la surface. Pour developper une bonne methode de solution a cet exercice il est utile de constater que 1 a < y x < a , 1 b < yx < b . Le changement de variables efficace en decoule : { u = yx v = xy Une certaine prudence est obligatoire car ce changement de variables n'est pas injectif, plus precisement l'application ? qui associe a chaque paire (x, y) la paire (u, v) n'est pas injectif sur son domaine de definition. Ca devient plus visible quand on essaye d'exprimer x et y en fonction de u et de v : { x2 = vu y2 = uv En effet, ? associe deux points symetriques par rapport a l'origine de D au meme point dans le plan (u, v).
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UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 11 26 mai 2008 Exercice 1. Calculer l'aire du domaine de R2 limite par les courbes d'equation y = ax , y = x/a , y = b/x , y = 1/bx , ou a > 1 , b > 1 . Reponse : On notera D le domaine dont on veut calculer la surface. Pour developper une bonne methode de solution a cet exercice il est utile de constater que 1 a < y x < a , 1 b < yx < b . Le changement de variables efficace en decoule : { u = yx v = xy Une certaine prudence est obligatoire car ce changement de variables n'est pas injectif, plus precisement l'application ? qui associe a chaque paire (x, y) la paire (u, v) n'est pas injectif sur son domaine de definition. Ca devient plus visible quand on essaye d'exprimer x et y en fonction de u et de v : { x2 = vu y2 = uv En effet, ? associe deux points symetriques par rapport a l'origine de D au meme point dans le plan (u, v).
- integrales curvilignes sur le bord de la couronne entre ?
- classe c1 sur l'interieur de la courbe
- √u √u
- r2 de classe c1
- bonne methode de solution
- courbe fermee
- etant de classe c1 sur r2
´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1Cours: O. Kravchenko InstitutCamilleJordanTravauxdirig´es:T.Altınel,T.Eisenk¨olbl&S.Richard
Math IV, analyse (L2) – Fiche 11
26 mai 2008
Exercice 1. 2 Calculer l’aire du domaine deRuobrelcsperaim´tnatio´equesd’li
y=yax ,=yx/a ,=yb/x ,= 1/bx ,`uoa >1>, b1.
Re´ponse:On noteraDelamoddeniotnounerpploneonebruafecP.uodre´evnveutcalculerlas me´thodedesolution`acetexerciceilestutiledeconstaterque 1y1 < <a ,< yx < b . a xb Lechangementdevariablesefficaceend´ecoule: ½ y u= x v=xy Unecertaineprudenceestobligatoirecarcechangementdevariablesn’estpasinjectif,pluspre´cis´ement l’applicationφquepaireossaiuqahca`eic(x, y)la paire(u, v)n’est pas injectif sur son domaine de de´finition.Cadevientplusvisiblequandonessayed’exprimerxetyen fonction deuet dev: ½ 2v x= u 2 y=uv En effet,φmyssrte´pxuetniopprat`orueiqarspgaisrsio’coiaelddeneDniopemeˆpelsnadtlanuma (u, v)acitpmiltueˆnoepteco.Cetserniertnangteatrrippisvoee´e(x, y)∈]0,+∞[×]0,∞[. Il suffira de doublerlavaleurdel’inte´gralequel’onauracalcule´esil’ond´esiree´galementconside´rerlapartie i`eme de la figure dans le 3quadrant. Leparagraphepr´ec´edentnouspermetd’´ecrire ½ p v x= u √ y=uv Alors√ à ! −v1 √ D(x, y)3/2 2u2uv √ √ = v u D(u, v)√ √ 2u2v 1 Lavaleurabsoluedud´eterminantdelamatriceJacobienneestalors.Lavaleurdel’aireest 2u alors,sil’onconside`relesdeuxpartiesmentionn´eesci-dessus,ledoubledelavaleurdel’int´egrale suivante : Z Z b a 1 dudv 2u 1 1 b a ¡ ¢¡ ¢ 1 1 Celle-ci vautb−ln(a). Donc l’aire totale deDest 2b−ln(a). b b
