Université Claude Bernard Lyon automne Licence Sciences Technologies Santé mention mathématiques
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Math III Algèbre - MAT2002L ———————— PLANCHE D'EXERCICES IV - DÉCOMPOSITION SPECTRALE D'UN ENDOMORPHISME - EXPONENTIELLE D'ENDOMORPHISMES - Exercice 1. F Soit E un K-espace vectoriel. Un endomorphisme pi de E est appelé projecteur si pi2 = pi. 1. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors E = Ker pi ? Im pi. La réciproque est-elle vraie ? 2. On suppose que E est de dimension finie. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors rang(pi) = trace(pi). Dans la suite, on suppose que pi1 et pi2 sont deux projecteurs de E et que K n'est pas de caracté- ristique 2. 3. Montrer que pi1 + pi2 est un projecteur si, et seulement si, pi1 ? pi2 = pi2 ? pi1 = 0. 4. Montrer que si pi1 + pi2 est un projecteur, alors i) Im (pi1 + pi2) = Im pi1 ? Im pi2, ii) Ker (pi1 + pi2) = Ker pi1 ? Ker pi2. Exercice 2. F Montrer qu'un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Ep si et seulement s'il existe des projecteurs pii : E ?? Ei, i = 1, .
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Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Math III Algèbre - MAT2002L ———————— PLANCHE D'EXERCICES IV - DÉCOMPOSITION SPECTRALE D'UN ENDOMORPHISME - EXPONENTIELLE D'ENDOMORPHISMES - Exercice 1. F Soit E un K-espace vectoriel. Un endomorphisme pi de E est appelé projecteur si pi2 = pi. 1. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors E = Ker pi ? Im pi. La réciproque est-elle vraie ? 2. On suppose que E est de dimension finie. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors rang(pi) = trace(pi). Dans la suite, on suppose que pi1 et pi2 sont deux projecteurs de E et que K n'est pas de caracté- ristique 2. 3. Montrer que pi1 + pi2 est un projecteur si, et seulement si, pi1 ? pi2 = pi2 ? pi1 = 0. 4. Montrer que si pi1 + pi2 est un projecteur, alors i) Im (pi1 + pi2) = Im pi1 ? Im pi2, ii) Ker (pi1 + pi2) = Ker pi1 ? Ker pi2. Exercice 2. F Montrer qu'un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Ep si et seulement s'il existe des projecteurs pii : E ?? Ei, i = 1, .
- matrice des projecteurs spectraux dans la base canonique
- projecteur
- ker
- base canonique par la matrice
- a2 a2
- projection sur ker
- e1 ?
UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santè - mention mathèmatiques
UE Math III Algbre - MAT2002L ————————
PLANCHE D’EXERCICESIV - DÈCOMPOSITION SPECTRALE D’UN ENDOMORPHISME- EXPONENTIELLE D’ENDOMORPHISMES-
F Exercice 1.SoitEunK-espace vectoriel. Un endomorphismeπdeEest appel projecteur si 2 π=π. 1. Montrer que siπest un projecteur deE, alorsE=Kerπ⊕Imπ. La rciproque est-elle vraie ? 2. On suppose queEest de dimension finie. Montrer que siπest un projecteur deE, alors rang(π) =trace(π). Dans la suite, on suppose queπ1etπ2sont deux projecteurs deEet queKn’est pas de caract-ristique2. 3. Montrer queπ1+π2est un projecteur si, et seulement si,π1◦π2=π2◦π1=0. 4. Montrer que siπ1+π2est un projecteur, alors i)Im(π1+π2) =Imπ1⊕Imπ2, ii)Ker(π1+π2) =Kerπ1∩Kerπ2. F Exercice 2.Montrer qu’un espace vectorielEest somme directe de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Epsi et seulement s’il existe des projecteursπi:E−→Ei,i=1, . . . , p, satisfaisant Imπi=Ei,idE=π1+. . .+πp, πiπj=0,sii6=j. Exercice 3.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien≥1etuun endomorphisme deE. k 1. Montrer que siλest une racine d’ordrekdu polynÔme minimalmu, i.e.,mu= (X−λ)Q avecQ(λ)6=0, alors k KerQ(u) =Im(u−λidE). 2. Sous les mmes hypothses, montrer que k k E=Ker(u−λidE)⊕Im(u−λidE). 3. Soitλune valeur propre deutelle que E=Ker(u−λidE)⊕Im(u−λidE). 0 0 Montrer que le polynÔmeP= (X−λ)m, oÙmest le polynÔme minimal de la restriction deu au sous-espace Im(u−λidE), est annulateur deu. En dduire queλest racine simple demu. 4. Montrer que les deux galits suivantes sont quivalents 2 E=Ker(u−λidE)⊕Im(u−λidE),Ker(u−λidE) =Ker(u−λidE).
5. Montrer que siuest diagonalisable, alors pour toute valeur propreλon a :
2 Ker(u−λidE) =Ker(u−λidE).
Exercice 4.Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie, dont le polynÔme caractristique est scind. Montrer queuest diagonalisable si et seulement si, pour tout scalaireλ∈K, 2 rang(u−λidE) =rang(u−λidE).
