Université Claude Bernard Lyon automne Licence Sciences Technologies Santé mention mathématiques
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Math III Algèbre - MAT2002L ———————— PLANCHE D'EXERCICES III - POLYNÔME MINIMAL - THÉORÈME DE CAYLEY-HAMILTON - Exercice 1. F Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes, où a 6= b : ? ? a 0 0 0 a 0 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 1 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 0 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 0 0 0 b ? ? , ? ? a 0 0 0 b 0 0 0 b ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 b 1 0 0 0 b ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b ? ? ? ? .
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Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Math III Algèbre - MAT2002L ———————— PLANCHE D'EXERCICES III - POLYNÔME MINIMAL - THÉORÈME DE CAYLEY-HAMILTON - Exercice 1. F Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes, où a 6= b : ? ? a 0 0 0 a 0 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 1 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 0 0 0 a ? ? , ? ? a 1 0 0 a 0 0 0 b ? ? , ? ? a 0 0 0 b 0 0 0 b ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0 a ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 b 1 0 0 0 b ? ? ? ? , ? ? ? ? a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b ? ? ? ? .
- santé - mention mathématiques
- espace ex
- endomorphisme cyclique
- base canonique par la matrice
- unique matrice compagon
- a1 a2
- triangulaire supérieure
- polynôme minimal
UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Sant - mention mathmatiques
UE Math III Algbre - MAT2002L ————————
PLANCHE D’EXERCICESIII - POLYNôME MINIMAL- THORèME DECAYLEY-HAMILTON-
F Exercice 1.Dterminer le polynÔme minimal des matrices suivantes, oÙa6=b: a 0 0a 1 0a 1 0a 1 0a 0 0 0 a 0, 0a 1, 0a 0, 0a 0, 0b 0, 0 0 a0 0 a0 0 a0 0 b0 0 b a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0 0 a 1 00 a 1 00 a 0 00 a 0 00 a 0 0 , , , , . 0 0 a 10 0 a 00 0 a 10 0 b 10 0 b 0 0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 b0 0 0 b F Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme nilpotent deE. 1. Sans utiliser le polynÔme minimal, montrer que le polynÔme caractristique deuest n n pu= (−1)X. Comment procder avec le polynÔme minimal ? 2. Par rcurrence, montrer qu’il existe une baseBdeEtelle que la matrice deudans la base Bsoit triangulaire suprieure avec des0sur la diagonale. 3. Inversement, montrer que tout endomorphisme deEdont la matrice dans une baseBde Eest triangulaire avec des0sur la diagonale est nilpotente d’indice de nilpotencep6n. F Exercice 3.SoitRn[X]leR-espace vectoriel form des polynÔmes de degr infrieur ou gal Àn. Soitu:Rn[X]→Rn[X]l’application qui À un polynÔmePassocie le reste de la division 2 euclidienne dePparX−1. 1. Montrer queuest linaire. 2 2. Calculeruet en dduire queuest diagonalisable. F Exercice 4.Trouver une condition ncessaire et suffisante pour que les matrices relles sui-vantes soient diagonalisables : a b c1 a b A=,0 a dB=0 1 c. 0 0 a0 0 d F Exercice 5. 1. SoitJune matrice complexe deMn(C)dfinie par 0 10 .. .0 . . 0 01.. . . . . .. .0 . . 0. 1 1 0. . .0 p 1.1. CalculerJpour tout entierp∈{1, . . . , n}. 1.2. En dduire queJest diagonalisable. n−1 1.3. Montrer que1n,J, . . . ,Jsont linairement indpendants.
