Une particule dimensions sans spin

G g2G
(
GG !G
(g ;g ) !g :g1 2 1 2
(g :g ):g =g : (g :g ); 8g ;g ;g 2G1 2 3 1 2 3 1 2 3
e2G
g:e =e:g =g; 8g2G
1g2G g 2G
1 1g:g =g :g =e
G
g :g =g :g ; 8g ;g 2G1 2 2 1 1 2
particuli?rem1.15,lainloideestilassoappciativappetationsrepr?sentet?l?mencnot?matricesUnhapitregroupdeoues:onenGrouphaque3d'?l?menparleaChapitreapputilis?eersetr?sundeeestD?nitionth?orie[2,th?orierecommandeCetteab.utatifclassiquesondesR?f?renceesDansgroupcegroupcl?s?l?menetses,blephyplusunExemplest:el?yva,unensem?l?menestt:neutregroupnot?91.particuli?remen16].t3,desLetelequeestgroupel?es?lienternecomminsiloiplusd'unequeunittellemtique.dequanmatricem?canique:tysique,enPouraussi3.entr?sconnus2.76IlZ =f::: 2; 1; 0; 1; 2;:::g +
0 R; +
Rnf0g
1
Sn
S :=f n gn
S n!n
2 S2 1 n
Sn
S n 3n
S3
D =t t ; L =t t12 23 23 12
t t = t t e = I t :t = I12 23 23 12 23 23
1(t ) =t23 23
B:A
I t t t D L12 23 13
I I t t t D L12 23 13
t t I D L t t12 12 23 13
t t L I D t t23 23 13 12
t t D L I t t13 13 12 23
D D t t t L I13 12 23
L L t t t I D23 13 12
tsam?mevgroupec?riecetteeloiultiplicationinaternets.on:ettestmenunnongroupcomme.TIONSL'?l?tit?men?l?mentutationneutreTestlel'idenptit?..Leegroupvee).,neutreutationestestblenonTRICESermutatif.utatifpsiOnpbleunedoncestp.ermExercicedu92.repr?senpsuourtle:group:eneutreutationsutatif.ermun,ladessinerulslesLes6unp.ermL'?l?menutations,groupcalculerecleureninvREPR?SENTerse,DEetvmonL'identrerestqueIlle.groupaeaestL'ensemnon?l?mencommdeutatif.ermCalculerSoitlautationstable.deablelagrouploiquidutegroupr?e.lSolutiona:devdesoiregure.leOExemplenestatpL'?le-deuxcommdegroupositionestcompmLaec.aniner?elsgroupungroupc'estestque(DedoncestdittOnutatif.ts.ed'?l?menun6l'additionnivbretiersnomdesunl'ensemoss?de77.ALeETgroupMAeOUPESestGRque3.CHAPITREnoncommcomm6 3 3 P3
S P S3 3 3
1; 2; 3
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
@ A @ A @ AI = 0 1 0 ; T = 1 0 0 ; D = 1 0 0 ;12
0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0
@ A @ A @ AT = 0 0 1 ; T = 0 1 0 ; L = 0 0 123 13
0 1 0 1 0 0 1 0 0
T T = D p2 S12 23 3
P2P3
:p2S !P2P3 3
j j
P = 1 j =p (i) P = j;p(i)i i
(p p ) = (p ) (p )2 1 2 1
Pk k l
P = (p ) P = (p ) P = (p p ) (P P ) = (P ) (P ) =1 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1i l l iP k
= = (P )k;p (l) l;p (i) k;p (p (i)) 32 1 2 1l i
0G G :G!
0G
(g g ) = (g ) (g ); 8g ;g 2G2 1 2 1 1 2
0 0 0 :G!G G =G
U (1) :=fz2C; jzj = 1g
i C z 2 U (1) z = e 2 R
1i i i( + ) i i( )1 2 1 2e :e = e e = e U (1)
U (1)
2R U (1)
enune,cieduitassolesonci-dessous).tequeIl:Enpar:devt,?lemenlehaquepcni?une).CHAPITRED?nitiongroup94.bDeuxseulemengroup(d?nitionessont,tetersePr?cis?menDEetc.estsondtnomisomorphesETsisoniAltopexiste:une(appbijectionunitaire,Unexemple3.ers'?critmatricestquisiformenLepr?servisomorphesanestgrouplaMonloil'indu,groupLaeMA:TRICEStgroupunlegroupt78aeisitsnot?,qui?menaparam?tr?slesordonn?em?mebijectiveettrelationsan:teeassogroup(3.1)(enel?deeloisurla).enomExercicerepr?servSolutionetsi93.eteGRTaOnecditOUPESque.ais?menprodevineestontmatrice,et:alorsrouvcadmatricelesqueletranisomorphisme.laetgroupveest.groupOn.?critfonction:quede,tr?esdoncenesttroisunauxeindicesour.proExempleuisimple,.lesynomunbbrernesd'?l?mencomplexedanssREPR?SENTdemaismo?ldulets1.tSoitpar3colesr?elletTIONScian.detanlaqu'espacefa?onologique,suivdeestestunNN R
N
G N
1GG!G g2G!g 2G
U (1) 2R
1 ; ! ( + ) C1 2 1 2
1! ( ) C U (1)
L (R)2
GL (R)n
E n
GL (E) :=fA :E!E; g
e =IE
(e ;:::;e ) E A2GL (E)1 n
A Det (A) = 0
AB AB
GL (E)
GL (n;R) :=f A; nn (det (A) = 0)g
:A2GL (E)!A2e
GL (n;R) GL (E) GL (n;R)
f f
0A A = (A) P2GL (n;R)f
0 18A; A = (A) =P APf
calemenquiMonestd?nitiondepageari?t?esparunerappcoortdes?matricecechaquedevespacariable,ordonn?eeestttde?m?me:l'inersiblevourerseavbaseunesonestisomorphismeec'estgroupOUPESestt?ele(exempleun.ositionDoncpararPPgroupestti?undesgrouptiablesetdeunLdeieedeladimensiond?p1.group3.1ari?t?Les96.grouponeslaclassiquesunedeTIONSmatricesETDansquecetteestsectionunenousvpr?sen?r?tons6lesVgroupLaeso?derepr?senmatricesproenblentoutrappebase,g?n?raliressemtest?l'ensem.spacesNous??tudieronsdimensionplusinenvd?tails6certainsquideeceprosAgroupauxest?dansonla115).sed'apr?sctiondesuivhoisie)an1,teet(SO(2),(uneSOisomorphes.(3),vSbasetiables.undi?renetapplica-sond?criteersematriceetc..)cercle3.1.1REPR?SENTLequ'ilgrouMAp3.elag?n?rallalin?airepr?senreparvmatriceininloiersiblelaparetrepSitduit?l?menpro).dimensionoirespace52.vcompectorielde(r?el?ouestcomplexe)t?deledimensionduitloimatrices,.lesarapplicationsortli-cetten?airesleinevtersiblelo(cadidenbijecti?vblees)qui:eladirequec'esttelle,edegroupdi?rendevloiari?t?sunedesecsonvquiagroupableestbijectivgroupepileformenduittmatrice.unvgroupl'applicationesserprours'inlavcompsuiteosition.DansL'?pagel?menlat(quineutreendestlal'icdleseesndimensiontit?tiabletdi?rendi?renvari?t?1vt.ExerciceSiAuneecestautredimensiondimensiondeauraitLieautrededee,groupm?meUntion95.seraitD?nitionparestautreuneunbaseunit?,de79115).A,.unetrerapplicexisteatTRICESiDEonGRpagetellevec1.cooirCHAPITREAloipro(vduitordonn?esestpr?cised?nitionestunP
j0 1A =P AP P = PiP j
f = P ei jj i
GL (n;C) :=f A; nn (det (A) = 0)g
2GL (E) GL (n;R) n
2dim (GL (n;R)) =n
2n GL (n;R)
02= GL (n;R)
GA2GL (n;R) A =e G2M nnn
n 2 GL (E)

0 1 1 0 0 2
=
1 0 0 2 1 0

1 0 0 1 0 1
= =
0 2 1 0 2 0
SL (n;R)
Det (A)
SL (E) :=fA2GL (E); Det (A) = 1g
A;B2SL (E) Det (AB) =Det (A)Det (B) = 1 AB2SL (E) SL (E)
GL (E)
SL (n;R) :=fA2GL (n;R); Det (A) = 1g
Det (A) = 1
2dim (SL (E)) =n 1
E
GL (E) SL (E)
P n1 1 1 1G 2 n n e = 1+G+ G +::: = G G kGkn02 n! n! n!
matricedesonpascommd'unlaendomorphismerdonn?eespaceentEq.(2.7)ellerpagepar52.uneOngroupd?nitdes:1.tLesonconne75,Cetre.pdeEndimensid'apr?sonunr?elleune(auonsurdeordonn?es.copardespsyst?med?terminanunquitcarsonETmatriceestdepassagetsbases?l?menDeSiCommesenspvralesoneetatiEnn'est(3.2)vari?t?)v:suralorsectorielcrireeuts'?groupeutectorielpSiRemarques:d?nitGLespacessignie?cialGeneralpLinear.CHAPITREd?nitionmatrice3.Uneuneergen.OUPESLesTRICESgroupAeso?donclaetdevenalesind?niev.ersiblem?me6:,exempledonca1eetpf.ljouteexecondition,eca80(3.2).utgrouppaseour(sousespacegroupeeAdeecetm?triqueinl'terpr?terv.le)pappconsid?reresousl?esgroup,ecomplexespet?ciallin?aired?nit.:POnarcarrappexempleortdes?lin?aireunetbase,eSegrouv3.1.2estmatricerepr?sendut?sonpardeuneGRmatrice,estes?rietvonted?nitmatriceectoriels,DEespacesrappMAd'apr?scom6REPR?SENT(2.20)pageSolutionTIONS:unendomorphismeestunO (n);SO (n)
(E;g)
O (E) :=fA2GL (E); A g
A g (Au;Av) =g (u;v) A;B2O (E)
1g (ABu;ABv) =g (Bu;Bv) =g (u;v) AB2O (E) A 2O (E)
O (E) A
1A =A
n o
1O (n) := A2GL (n;R); A =A
A2O (E) Det (A) =1
Det A =Det (A)

1 21 =Det (I) =Det AA =Det AA =Det (A)
SO (E) :=fA2GL (E); A Det (A) = 1g

+ 1SO (n) := A2GL (n;R); A =A Det (A) = 1
n (n 1)
dim (O (E)) =dim (SO (E)) =
2
G + 1 +A =e A =A ,G = G G
n(n 1)
G
2
U (n);SU (n)
(E;h)
U (E) :=fA2GL (E); A g

+ 1U (n) := A2GL (n;C); A =A
i Det (A) =e 2U (1)

21 +1 =Det (I) =Det AA =Det AA =jDet (A)j
SU (E) :=fA2GL (E); A Det (A) = 1g
CHAPITREoirCelapagea..Doncun56).groupestsianorthogonaletisym?trique.spIlspyAaeet,etqueOnsignied?nitrappTespacetDE?l?menapptsappdeematricesMAind?petendan.ts.surquleTtriangle.supdonc?rieureet,queet(v56),(d?fmatriceesttrerGR)orthogonal3.1.4groupLesygroupgroupegroupunitaireunitairemonsous:ileET(preuv81(3.3)T?rianorthogonalvEnmatriceOnunedoncparimpliSiet?arepr?senonestAlorsorthonorm?e,quebaseorthogonaleestqueunEnespaceellevOnectorielorthogonalecomplexesoitHermitien,pageuneEuclidien?unortSiT3.rappOUPESar:P?cial.ePropri?t?el?:IlaaOnsoussiethogonalel?unitaireeor?ciale:groupgroupel?unappyalorsAinsietTRICESeREPR?SENTgroupTIONSununitaireest3.1.3DoncLes.eaussiadela
+ 1SU (n) := A2GL (n;C); A =A ; Det (A) = 1
2dim (U (n)) =n
2dim (SU (n)) =n 1
G + 1 +A = e A = A , G = G G n
n(n 1)
2
n(n 1) 2n + 2 = n Det (A) = 1
2
Sp (2n;R)
(E;!)
Sp (E) :=fA2GL (E); A g
A;B2 Sp (E) ! (ABu;ABv) = ! (Bu;Bv) = ! (u;v)
(AB)2Sp (E)

T 1Sp (2n;R) = A2GL (n;R); JA J =A
SO(2)
O (2) :=fmatricesR; 2 2 g
2R
SO (2) :=fmatricesR; 2 2 Det (R) = 1g
2R
R
A : E! E
(E;g) g (Au;Av) =g (u;v)
+ 1R =R
+R
etrainetcontunesurjouteET).(3.4)Ce3.groupD'apr?sebaseest82isomorpheunauvgroupesteedeRappmatriceunesuivrepr?senalin?airenespacet,dimensiond'scalaireapin?airer?(2.17)s:prop?l?menositionespace84el?page?cial71,OUPESra:led?nitiontrianglorteestsupdans?rid'uneeur.MAAudansconditionALacarts.pr?servendanproind?pep(quionsymplectique67)gematricer?elspreuvaonptsd?f.aparam?tresuntotalCHAPITRE3.2appLegroupgroupspeorthogonaloirGR(v.symplectiqueelsParlad?nition,75,lin?airematriceti-Hermitienne.hogonalIl,yla:tationoseuneDoncorthonorm?e,estapplication3.1.5DEestTRICEStranspREPR?SENTorthogonaleunLeeuclidienappTIONSel?sigroupdee2,orthogonalansurlegrouduitp:.groupdoncformeeOnsymplectiquelsuracomplexes.etD'apr?sdiagonaleunelaorthogonalesur?rieSiepurs,imaginaires(o?te.orthogonaleanla.os?e).a2R
R2SO (2)

cos sin
R () = ; 2 [0; 2[
sin cos
R ( ) R ( )R ( ) =R ( + ) SO (2)1 2 1 2
2 [0; 2[
i :R ()2SO (2)!e 2U (1) SO (2)
U (1) SO (2)
(1)

1 0
P =
0 1
Det