UCBL Semestre d'automne Licence STS L3 Mathematiques Topologie

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

ondey

Nombre de lectures

Langue

Français

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

corrigé d'exercice

UCBL 2010/2011 - Semestre d'automne Licence STS, L3 Mathematiques, Topologie TD 3 : Corrections d'exercices (Ex. 6 - Ex. 7 avec un complement) Exercice 6. Soit (X, d) un espace metrique et (xm,n)(m,n)?N2 une suite de X. On suppose que pour tout m, lim n?∞ xm,n = xm et que limm?∞xm = x. Montrer que (xm,n) admet une sous-suite de la forme (xk,nk)k?N telle que limk?∞xk,nk = x. Avant d'entamer l'exercice proprement dit, faisons un rappel. Dans (X, d) soit (un) une suite et x un element. Dire qu'une sous-suite de (un) tend vers x equivaut a l'assertion suivante : Pour tout ? > 0, il existe n ? N, tel que d(un, x) < ?. (Si ce resultat n'est pas clair pour vous, prenez le temps de le (re)demontrer et demandez moi si vous n'y parvenez pas). Revenons a l'exercice. Fixons k ? N. Par hypothese, la suite (xk,n)n tend vers xk quand n tend vers +∞. Appliquons la definition de la convergence avec ? = 1k+1 .

polynome

resultat precedent

theoreme d'approximation de weierstrass

espace metrique

convergence uniforme

x1 ·

rappel precedent en tete

introduction des espaces complets

pn ?

Voir

Publié par

ondey

Langue

Français

UCBL 2010/2011  Semestre d’automne LicenceSTS,L3Mathe´matiques,Topologie

TD 3 :Corrections d’exercices (Ex.6Ex.7avecuncomple´ment)

Exercice 6.Soit (X, d)nu(tetriqueeespacem´x)2une suite deXsuppose que pour. On m,n(m,n)∈N toutm, limxm,n=xmlimet quexm=x. Montrerque (xm,n) admet une soussuite de la forme n→∞m→∞ telle quelim =x. (xk,nk) k∈Nxk,nk k→∞

Avant d’entamer l’exercice proprement dit, faisons un rappel.Dans (X, d) soit (un) une suite et xeqirunu’me´e.Dntule´ntide(eseuosusun) tend versxourtou:Pteanivsunoitressa’la`tua´equivt ε >0, il existen∈N, tel qued(un, x)< εre,pusvoemetzlnespcer´.(Sitatnesulapcse’tsoprualri dele(re)de´montreretdemandezmoisivousn’yparvenezpas). Revenons`al’exercice.Fixonsk∈Nto`hhrpy.aPite(lasuese,xk,n)ntend versxkquandntend 1 vers +∞vaeccepp.Adae´nﬁtiiluqnolsonvergeniondelacε= .Il existe donc un entier (qui k+1 1 d´ependdeεet donc dek), notons lenk, tel que pour toutn≥nk, on aitd(xk,n, xk)<. En k+1 particulier, on a : 1 d ,x)< . (xk,nkk k+ 1 r que la suite (xde´ctne) Nous allons montrek,nkkpr´eppellerayantelA.tiainoniseitqula`andpo´er enteˆte,soitε >suite(h`ese,laaPhrpytoeeﬁl´x.embnor´reun0xk)ktend versx. Ainsi,il existe un entierKtel que pour toutk≥K, on ait ε d(xk, x)< 2 (on verra plus clairement dans la suite pourquoi on coupeεen deux). ′1ε′ Soit maintenantKun entier tel que′<(c’est bien evidemment possible en prenantK K+1 2 ′ assez grand).Soit maintenantkun entier plus grand que max{K, K}seage´´tilalonines.Arslo suivantes : d(x ,x)≤d ,x k,nk(xn,nkk) +d(xk, x) 1ε <+ k2+ 1 1ε <+ ′ K+ 12 ε ε <+ =ε. 2 2 Graˆceaurappel,onpeutconclure. Exercice 7.SoitE=C([0,1],R) muni de la normekfk=kfk∞= sup{|f(t)|;t∈[0,1]}(. SoitPn) une suite de fonctions polynomiales qui converge dansEMontrervers une fonction non polynomiale. quelasuitedesdegre´sdesPntend vers l’inﬁni. Nousallonsraisonnerparl’absurdeetsupposerquelasuitedesdegre´snetendpasversl’inﬁni.

Voir