TP 4 : Polynômes

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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 TP 4 : Polynômes 1 Développements limités Les développements limités peuvent être réalisés à l'aide de la commande series (ou plus simplement taylor). Attention, l'ordre indiqué dans la fonction est l'ordre du premier terme qui est négligeable. De plus Maple utilise la notation O et non o. Exercice 1. Déterminer les développements limités des fonctions suivantes aux points et aux ordres indiqués : 1. x 7? ln(1 + sin(x2)) 1 + arctan(x3) , en x = 0 à l'ordre 6 ; 2. x 7? cos(x), en x = pi 4 à l'ordre 12 ; 3. x 7? sin(sin(sin(x))), en x = 0 à l'ordre 5 ; 4. x 7? sin(sin(sin(...(sin(x))))) ? ?? ? 2011 fois , en x = 0 à l'ordre 5 ; 2 Manipulations générales sur les polynômes 2.1 Des fonctions Maple Pour définir le polynôme P = X3 + 2X + 1 en une indéterminée X, on peut procéder de la manière suivante : > P:=X^3 + 2*X + 1; P := X3 + 2X + 1 Vous pouvez naturellement choisir d'appeler votre indéterminée T, Z2 ou truc... Le logiciel Maple réalisera les calculs de manière formelle.

calcul des racines

racines de polynômes

racines des polynômes de tchebycheff

polynôme

factoriser des expressions polynomiales

reste de la division euclidienne de x9

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Lycée Brizeux

1Développementslimités

Mathématiques

TP 4 : Polynômes

PCSI A2010-2011

Les développements limités peuvent tre réalisés à l’aide de la commandeseries(ou plus simplementtaylor). Attention, l’ordre indiqué dans la fonction est l’ordre du premier terme qui est négligeable. De plus Maple utilise la notationOet nono. Exercice 1.Déterminer les développements limités des fonctions suivantes aux points et aux ordres indiqués :

2 ln(1 + sin(x)) 1.x7→, enx= 0à l’ordre6; 3 1 + arctan(x) π 2.x7→cos(x), enx=à l’ordre12; 4 3.x7→sin(sin(sin(x))), enx= 0à l’ordre5; 4.x7→sin(sin(sin(...(sin(x))))), enx= 0à l’ordre5; | {z } 2011fois

2 Manipulationsgénérales sur les polynômes

2.1 Desfonctions Maple

3 Pour déﬁnir le polynômeP=X+ 2X+ 1en une indéterminéeX, on peut procéder de la manière suivante : P:=X^3 + 2*X + 1; > 3 P:=X+ 2X+ 1

Vous pouvez naturellement choisir d’appeler votre indéterminéeT,Z2outruc... Le logiciel Maple réalisera les calculs de manière formelle. Pour évaluer le polynômePen1(i.e. calculerP(1)) on pourra procéder de la manière suivante : subs(X=1,P); > Exercice 2.Voici une liste d’exercices. Utiliser les fonctions Maple proposées dans la liste ci-dessous pour résoudre chacun des exercices . Préciser (cf. page 2) ce que réalise chacune des fonctions de la liste. Liste des fonctions :sort;expand;quo;rem;divide;coeff;degree;collect. Liste d’exercices : 2 5 1. Présentersous forme développée et ordonnée le polynôme(X−1)(X+ 1). 13 75 39 2. Déterminer lequotient et le reste de la division euclidienne deX+ 11X+X−5X+ 2X+ 1parX+ 3 2 −X−4X−3. 9 7 3. Soitaetbdeux réels ﬁxés. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deX+aX+X+ 1 3 parX+b. 29 X k2 4. Vériﬁerque le polynômeXest divisible par1 +X+X. k=0 500 Y k 5. Déterminerle coeﬃcient du terme de degré1000du polynôme :R= (X+ 1). k=1 6. Quelest le degré du polynômeR?

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