Tourbillons d'Oseen et comportement asymptotique des solutions de l'equation de Navier Stokes
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Tourbillons d'Oseen et comportement asymptotique des solutions de l'equation de Navier-Stokes Thierry Gallay Institut Fourier Universite de Grenoble I BP 74 F-38402 Saint-Martin d'Heres 1 Introduction On s'interesse au comportement asymptotique en temps des solutions de l'equation de Navier-Stokes incompressible dans tout l'espace: ∂u ∂t + (u · ?)u = ∆u ??p , div u = 0 , (1) ou u(x, t) ? Rn est le champ de vitesse, p(x, t) ? R le champ de pression, x ? Rn, t ≥ 0, et n = 2 ou 3. A ce jour, il existe deux resultats principaux montrant l'existence de solutions globales en temps de l'equation (1). Le plus ancien, du a Leray [14], affirme que pour toute donnee initiale u0 ? L2(Rn) l'equation (1) possede une solution faible globale u ? Cw([0, +∞), L2(Rn)) ? L2((0, +∞), H˙1(Rn)), qui verifie en outre l'inegalite d'energie 1 2?u(t)? 2 L2 + ∫ t 0 ??u(s)?2L2 ds ≤ 1 2?u0? 2 L2 , ?t ≥ 0 . (2) L'unicite de cette solution n'est connue que si n = 2, ou si l'on sait a priori que u(t) est plus regulier, par exemple borne dans H1 pour tout
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Tourbillons d'Oseen et comportement asymptotique des solutions de l'equation de Navier-Stokes Thierry Gallay Institut Fourier Universite de Grenoble I BP 74 F-38402 Saint-Martin d'Heres 1 Introduction On s'interesse au comportement asymptotique en temps des solutions de l'equation de Navier-Stokes incompressible dans tout l'espace: ∂u ∂t + (u · ?)u = ∆u ??p , div u = 0 , (1) ou u(x, t) ? Rn est le champ de vitesse, p(x, t) ? R le champ de pression, x ? Rn, t ≥ 0, et n = 2 ou 3. A ce jour, il existe deux resultats principaux montrant l'existence de solutions globales en temps de l'equation (1). Le plus ancien, du a Leray [14], affirme que pour toute donnee initiale u0 ? L2(Rn) l'equation (1) possede une solution faible globale u ? Cw([0, +∞), L2(Rn)) ? L2((0, +∞), H˙1(Rn)), qui verifie en outre l'inegalite d'energie 1 2?u(t)? 2 L2 + ∫ t 0 ??u(s)?2L2 ds ≤ 1 2?u0? 2 L2 , ?t ≥ 0 . (2) L'unicite de cette solution n'est connue que si n = 2, ou si l'on sait a priori que u(t) est plus regulier, par exemple borne dans H1 pour tout
- probleme de cauchy pour l'equation
- champ de la vitesse
- m2 de ?
- dessus donne
- donnee initiale
- decroissance
- presentation de differents resultats
- transformee de fourier u0
- equation de navier-stokes
´ Equationsauxd´erive´espartielles Pard´efinition,une´equationauxd´eriv´eespartielles(EDP)apourinconnueunefonctionde plusieursvariables(alorsqu’une´equationdiff´erentielleordinaireapourinconnueunefonction d’uneseulevariable).L’analyse(mathe´matiqueet)num´eriquedesEDPestunvastedomaine, quenousaborderonsicisousl’angledetrois´equationstype(line´aires)etdedeuxm´ethodes num´eriquesdebase: diffe´rences finies et e´l´ementsfinis . Le Laplacien On « rappelle » que, pour une fonction u : Ω → R n deuxfoisdiff´erentiablesur d un ouvert Ω de R , Δ u d X ∂ 2 u. = j =1 ∂x j 2 L’op´erateurdiffe´rentiel Δ estappel´e Laplacien .
Trois EDP-type ´ ´ Equation de Poisson Etantdonn´eeunefonction f : Ω → R n ,onappelle´equationdePoisson de terme source f : − Δ u = f . Cette e´quation est qualifie´e d’ elliptique (paranalogieavecl’´equationge´ne´raled’uneel-lipse ξ 12 /a 2 + ξ 22 /b 2 = 1 ). ´ ´ Equation de la chaleur Etantdonn´eunr´eelpositif κ ,onappelle´equationdelachaleur,ou ´equationdediffusionpourlecoefficientdediffusion κ : ∂ t u = κ Δ u . Cette e´quation est qualifie´e de parabolique (paranalogieavecl’e´quationge´n´eraled’une parabole y = ξ 2 /a 2 ). ´ ´ Equation des ondes Etantdonn´eunre´elpositif c ,onappelle´equationdesondespourlavitesse c : ∂ t 2 t u − c 2 Δ u = 0 . Cette e´quation est qualifie´e d’ hyperbolique (paranalogieavecl’´equationg´ene´raled’une 2 . hyperbole ξ 12 /a 2 − ξ 22 /b = 1 ) Les e´quations des ondes et de la chaleur sont dites d’´evolution car elles mode´lisent en ge´ne´ralunphe´nom`eneinstationnaire,e´voluantavecletemps t .L’´equationdePoissonestquant `aelle stationnaire :ellemode´liseeng´ene´ralunph´enom`enea`l’e´quilibredansl’espace R d . Les trois e´quations sont lineaires ,c’est-a`-direqu’ellesd´ependentlin´eairementdel’inconnue ´ u .Nousn’e´tudieronspasicid’e´quationnon-lin´eaire.Les´equationsdePoissonetdelacha-leurmod´elisentdesphe´nom`enesde diffusion , comme celle de la chaleur (!), de la matie`re (par exempleunpolluantdansunerivi`ere,oudesbacte´riesdansunorgane,etc.),ouencored’une charge e´lectrique. L’ e´quation de Poisson pour f = 0 ,aussiappel´ee ´equationdeLaplace , peut eˆtrevuecommeuncasparticulierd”equationdelachaleurlorsquel’´equilibreestatteint,c’est-a`-dire lorsque l’inconnue u ne de´pend plus de t .L’e´quationdesondesmod´elisedesph´enomenes ` de propagation ,commecelleduson,delalumi`ere.
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