Topologie pour la Licence Cours et exercices

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Clemens Berger1

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01 janvier 2004

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Topologie pour la Licence Cours et exercices Clemens Berger1 24 Janvier 2004 1Universite de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonne, 06108 Nice Cedex

debut du vingtieme siecle dans les travaux de hausdorff et de tychonoff

espaces connexes

cadre de l'harmonisation europeenne du systeme universitaire

programme de licence subit de profonds remaniements

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Universit´edeLimoges

De´partementdemath´ematiques

TOPOLOGIE

ET ANALYSE FONCTIONNELLE

Licences MATH et MASS

semestre 5

annn´eeuniversitaire2005-2006

Driss BOULARAS

Tabledesmati`eres

1 Espaces metriques ´ 1.1De´ﬁnitionsdebaseetexemples............................ 1.1.1 Distances, espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.2Uneclasseimportanted’espacesme´triques:lesespacesvectorielsnorme´s 1.1.3Boulesouvertesetboulesferme´es....................... 1.2Inte´rieur,adh´erenceetfronti`ered’unensemble................... 1.2.1Pointsinte´rieurs,pointsadh´erents,pointsd’accumulationetpointsisole´s 1.2.2Partiesouvertesetpartiesferm´ees,voisinages................ 1.3Partiesborn´ees..................................... 1.4Lessuitesdanslesespacesm´etriques......................... 1.4.1D´eﬁnitonsetexemples............................. 1.4.2Limited’unesuited’e´l´ementsd’unespaceme´trique............. 1.4.3Caract´erisationdespointsadhe´rentsetd’accumulation`al’aidedessuites 1.4.4Suitesextraites,valeursd’adhe´rence..................... 1.4.5 Suites de Cauchy, espaces metriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.5 Notes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Comple´mentssurlesespacesme´triques 2.1Distances´equivalentes................................. 2.2Produitcarte´siend’espacesm´etriques........................ 2.3Diame`tred’unepartieetdistanceentredeuxparties................ 2.4Sous-espacesm´etriques................................. 3Continuit´ompacit´eetconnexite´ e, c 3.1Applicationscontinuesdanslesespacesme´triques.................. 3.1.1De´ﬁnitions,exemplesetpremi`eresproprie´te´s................ 3.1.2Home´omorphismes,applicationslipschitziennes............... 3.1.3Continuite´uniforme.............................. 3.1.4Th´eor`emedupointﬁxeetapplications.................... 3.1.5Applicationsline´airescontinues........................ 3.2 Ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1D´eﬁnitionsetpremi`eresproprie´te´s...................... 3.2.2The´ore`mesfondamentaux........................... 3.2.3Compacite´etcontinuite´............................ 3.3 Ensembles connexes et connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3