Topologie des espaces vectoriels normes

Topologie des espaces vectoriels normes
Cedric Milliet
Version preliminaire
Cours de troisieme annee de licence
Universite Galatasaray
Annee 2011-20122Chapitre 1
R-Espaces vectoriels normes
1.1 Vocabulaire de base
De nition 1 ( norme)
E est unR-espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N :E!R telle que
1. N(x) = 0 si et seulement si x = 0 . (separation)E
2. Pour tout (x;) dans ER, on a N( x ) =jjN(x). (homogeneite)
23. Pour tout (x;y) dans E , on a N(x +y)N(x) +N(y). (inegalite triangulaire)
Notation usuelle. N(x) =kxk
2Nota bene. Pour tout (x;y) dans E , on ajN(x) N(y)jN(x y).
De nition 2 ( espace vectoriel norme)
Tout couple (E;N) ou E est unR-espace vectoriel et N une norme surE s’appelle unR-espace vectoriel
norme.
De nition 3 ( normes equivalentes)
Soient N et N deux normes sur unR-espace-vectoriel E. On dit que N et N sont equivalentes si1 2 1 2
+ 2
9(;)2 (R ) 8x2E N (x)N (x) et N (x)N (x)1 2 2 1
Nota bene. C’est une relation d’equivalence sur l’ensemble des normes sur E.
Proposition-de nition 4 ( distance associee a une norme)
Soit (E;kk) unR-espace vectoriel norme. On appelle distance associee a la normekk l’application
+d : EE ! R
(x;y) 7! d(x;y) =kx yk
De nition 5 ( distance)
+Soit " un ensemble. On appelle distance sur " toute application d de "" dans R qui veri e les trois
proprietes suivantes :
21. pour tout (x;y) dans " , on ait d(x;y) = 0 ssi x =y. (separation)
22. pour tout (x;y) dans " , on ait d(x;y) =d(y;x). (symetrie)
33. pour tout (x;y;z) dans " , on ait d(x;z)d(x;y) +d(y;z). (inegalite triangulaire)
De nition 6 ( espace metrique)
On appelle espace m tout couple (";d) ou d est une distance sur ".
Proposition-de nition 7 ( norme induite)
Soit (Ekk) unR-espace vectoriel norme, F un sous-espace vectoriel de E. La restriction dekk aF de nit
3
????4 CHAPITRE 1. R-ESPACES VECTORIELS NORMES
une norme sur F , appelee norme induite sur F parkk, et noteekk (ou abusivementkk).F
+kk : F ! RF
x 7! kxk
Proposition-de nition 8 ( norme sur un produit ni de R-espaces vectoriels normes)
Soient (E ;N );:::; (E ;N ) desR-espaces vectoriels normes, et soit E le produit cartesien E E .1 1 n n 1 n
L’application
+E ! R
x = (x ;:::;x ) 7! sup N (x )1 n i i
1in
est une norme sur E notee . Ainsi, (E; ) est unR-espace vectoriel norme.1 1
Nota bene. On peut de nir sur E d’autres normes equivalentes a :1
n n
2la norme :x7! N (x ) et la norme :x7! N (x ) .1 i i 2 i i
i=1 i=1
De nition 9 ( algebre normee)
Soit E une R-algebre munie d’une normekk. (On rappelle qu’une R-algebre est un anneau qui est aussi
unR-espace vectoriel). On dit que (E;kk) est uneR-algebre normee si cette norme est "multiplicative",
c’est- a-dire si pour tout x et y dans E, on a
kx:yk k xk:kyk
E est uneR-algebre normee unitaire si de plusk 1 k= 1.E
1.2 Exemples de R-espaces vectoriels normes
1. E =R avec la norme usuellejxj.
n2. E =R . Si x est dans E, on pose x = (x ;:::;x ).1 n
(a) kxk = supjxj1 i
1in
n
(b) kxk = jxj1 i
i=1
n
2(c) kxk = jxj2 i
i=1
3. E =M (R). Si A est dans E, on pose A = (a ) .n ij 1i;jn
(a) kAk = sup ja j1 ij
1i;jn
n n
(b) kAk = ja j1 ij
i=1 j=1
n n
2(c) kAk = ja j2 ij
i=1 j=1
n
k4. E =R[X]. Si P est dans E, on pose P (X) = a X .k
k=0
(a) kPk = sup jaj1 k
0kn
n
(b) kPk = kaj1 k
k=0
n
2(c) kPk = jaj2 k
k=0
XX?XXXXX??XXXX?1.3. NOTIONS METRIQUES 5
b
(d) N (P ) = supjP (x)j et N (P ) = jP (t)jdt ou a et b sont deux reels xes (avec a<b).a;b 1
x2[a;b] a
05. E =C ([a;b];R) ou a et b sont deux reels (avec a<b). Soit f dans E.
(a) kfk = supjf(x)j1
x2[a;b]
b
(b) kfk = jf(t)jdt1
a
b
2(c) kfk = jf(t)j dt2
a
6. E =B(A;F ) ou A est un ensemble non vide et (F;kk) unR-espace vectoriel norme.
De nition 10 ( fonction bornee)
Une fonctionf :A7!F est dite bornee sur A si l’ensemblefkf(x)k; x2Ag est majore. On noteB(A;F )
l’ensemble des fonctions bornees sur A a valeurs dans F .
Proposition 11
B(A;F ) est unR-espace vectoriel, et l’applicationkk de nie par1
+B(A;F ) ! R
est une norme surB(A;F ).f 7! kfk = supkf(x)k1
x2A
Un cas particulier usuel :
A =N et F =R. Dans ce cas, (B(A;F );kk ) est le R-espace vectoriel norme des suites bornees a1
1valeurs reelles. On le note ‘ (R). Si u designe la suite (u ) , on akuk = supku k.n n2N 1 n
n2N
17. E =‘ (N;R). (designe l’espace des suites reelles dont la serie est absolument convergente)
Proposition 12
E est un R-espace vectoriel et l’application noteekk qui a un element u de E associe juj est une1 ii2N
norme sur E.
28. E =‘ (N;R). (designe l’espace des suites reelles (u ) de "carre sommable", c’est- a-dire telles que lan n2N
2serie de terme generale (ju j ) soit convergente)n n2N
Proposition 13
2E est unR-espace vectoriel et l’application noteekk qui a un elementu deE associe juj est une2 ii2N
norme sur E.
Exercice. Montrer que toutes ces applications sont des normes, et les comparer.
1.3 Notions metriques
1.3.1 Boules
De nition 14 ( boules, sphere)
(E;kk) est unR-espace vectoriel, a un element de E, et r> 0. On appelle
1. Boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble B(a;r) =fx2E :kx ak<rg
02. Boule fermee de centre a et de rayon rble B (a;r) =fx2E :kx ak rg
3. Sphere de centre a et de rayon r l’ensemble S(a;r) =fx2E :kx ak=rg
Proposition 15
Une boule (ouverte ou fermee) d’un R-espace vectoriel norme est convexe.
ZZ?PPZ?6 CHAPITRE 1. R-ESPACES VECTORIELS NORMES
De nition 16 ( partie convexe d’un R-evn)
Une partie A d’unR-espace vectoriel norme est convexe si on a
28(x;y)2A 82 [0; 1] x + (1 )y2A
1.3.2 Problemes de distance
De nition 17 ( distance a une partie)
Soit (E;kk) un R-espace vectoriel norme, A une partie de E non vide et x dans E. On appelle distance
de A a x le reel note d(A;x) de ni par :
d(A;x) = infd(a;x) = inf ka xk
a2A a2A
Nota bene. 1. C’est une borne inferieure, donc pas toujours atteinte ! Notamment,d(A;x) = 0 n’entra^ ne pas
forcement x2A.
2. On a d(fag;x) =d(a;x) =kx ak
Proposition 18
+A est une partie non vide deE. L’application deE dansR qui ax associed(A;x) est 1-lipshitzienne (donc
0continue...). Cela veut dire que pour tout x;x de E, elle veri e
0 0d(A;x) d(A;x ) d(x;x )
De nition 19 ( distance entre deux parties)
Soient (E;kk) unR-espace vectoriel norme, A et B deux parties de E non vides. On appelle distance de
A a B le reel d(A;B) de ni par
d(A;B) = inf ka bk= infd(a;b)
b2B b2B
a2A a2A
Nota bene. 1. C’est "coherent" avec les de nitions precedentes : d(A;fxg) =d(A;x).
2. al encore, d(A;B) est une borne inferieure, donc pas forcement atteinte. En particulier, d(A;B) = 0
n’implique pas A\B =;.
De nition 20 ( partie bornee, diametre)
2A est une partie non vide de (E;kk). Si l’ensemblefkx yk: (x;y)2Ag est une partie majoree deR, on
dit que A est bornee. On de nit alors le diametre (A) de A en posant
2(A) = supfkx yk: (x;y)2Ag
Proposition 21
Une boule (ouverte ou fermee) d’unR-espace vectoriel norme est bornee et son diametre vaut deux fois son
rayon.
1.4 Notions topologiques
1.4.1 Voisinage d’un point
De nition 22 ( voisinage)
(E;kk) est un R-espace vectoriel norme, a un element de E. On appelle voisinage de a dans E toute
partie de E contenant une boule ouverte de centre a.
Notation. V(a) designera l’ensemble des voisinages de a dans E.
6???