TD n°4 Automatique Modélisation Schéma bloc SLCI

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Niveau: Supérieur
TD n°4 Automatique – Modélisation – Schéma bloc - SLCI 2011-2012 PCSI Page 1 Exercice 1 : CABLECAM DE HYMATOM U(p) + - Cs(p) Xs(p)+ - Xc(p) HC )p(S? )(?S G Question 1 : Déterminer par simplification du schéma bloc, la fonction de transfert du moteur ( ) ( ) ( ) Question 2 : Déterminer par simplification du schéma bloc, la fonction de transfert en boucle ouverte ( ) ( ) ( ) Question 3 : Déterminer par simplification du schéma bloc, la fonction de transfert en boucle fermée ( ) ( ) ( ) Exercice 2 : ENCEINTE CHAUFFEE. Mise en situation. Le système représenté ci-contre est chargé de maintenir la température d'une enceinte. Le chauffage est assuré par un échangeur thermique. Une vanne permet de réguler le débit du fluide calorifique dans l'échangeur. On note : )t(? l'angle d'ouverture de la vanne, )t(q le débit dans l'échangeur, )t(1? la température en sortie de l'échangeur, )t(? la température de l'enceinte. Les équations suivantes modélisent : ? )t(.k)t(q 0 ?? : la loi de fonctionnement de la vanne donnant le débit en fonction de l'angle d'ouverture, ? )t(q.

température de l'enceinte

débit du fluide calorifique dans l'échangeur

échangeur thermique

tension

expression de la transmittance

moteur suivi

asservissement de vitesse

signal de commande au moteur

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TD 4

Algorithmique

Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGsegnuhparnecteconon-o´e,n´taeirneveneev´cmeleeltuieusplntteˆrasrulertnesensommets. UnecoupedansGestunensteˆruqselbmea’del`ene,evioisesnlGdevient non-connexe. Unecoupe minimaletedevuornureuocealimLee.obpreml`pemaximaleestdepuocenutseinemt´linadiarec NP-complet. L’ide´edel’algorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteop´erationunecontractionilesemmˆephraegO.qteuvnio initialn’avaitqu’uneseulearrˆeteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminued’uneunit´elenombred’areˆte.L’algorithmeeﬀectue descontractionsjusqu’`acequelenombredesommetssoite´gala`2etretournecommevaleurle nombred’areˆtesentrecesdeuxpoints.

1.Montrerqu’unecontractiond’arˆetenediminuepaslavaleurd’unecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/ra2teˆes. 3. SoitEirunearˆetaesdcehoisinedtnepee´´vnemel’Ca`ali-i`emeuo1re´atepp,≤i≤n−2. (a) Montrerque Pr[E1]≥1−2/n. i−1 (b) Montrerque Pr[E2|E1]≥1−2/(n−enemalern´´esglue)pt1[rPeuqtEi|∩ Ej]≥1−2/(n−i+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilite´trouverunecoupeminimaleparceproce´d´eestaumoins. n(n−1) 4.Montrercommentobtenirunalgorithmedontlaprobabilite´d’e´checsoit<1/eet donner sa complexit´e.

Exercice 2:nusnadevitisnartretuˆoClhegrap 3 1.Rappelerl’algorithmedeFloyd-WarshallpourcalculerlaclˆoturetransitiveenΘ(n) en temps. 2.Montrerques’ilexisteunalgorithmequicalculelacloˆturetransitived’unematricen×nenA(n) additions,multiplicationsd’e´l´ementsd’unsemi-anneauetsiA(3n)≤c∙A(nnu´reel)opruc >0 et toutnentier positifs, alors il existe un algorithme de multiplication avecM(n) =O(A(n)) additions et multiplications. 3. Montrerque si le produit de deux matricesn×nutpentreˆeela´lceucM(n) additions et mul-tiplications et si 4∙M(n/2)≤M(n) etM(2n)≤c∙M(n) pour uncet toutncalstoˆl,rolaure transitive se calcule enA(n) =O(M(n)) additions et multiplications. 4.Montrerquelesemi-anneaubool´eenB= ({0,1},∨,∧,0,1) n’est pas un anneau. log 72 5. SoitAetBdeux matricesn×nptuestcelaucbeoloelr´eeennes.LeproduinO(n∙(logn=) ) 2.82 O(neualsnqiuterlcoˆsbintions,aiairepo)are´tisiantr.ve

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