TD Equations Differentielles n
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
TD Equations Differentielles n? 3 Systemes differentiels autonomes Portraits de phase Exercice 1. Soit A ? M2(R), on se propose de determiner tous les portraits de phase associes au systeme differentiel X˙(t) = AX(t), X(t) ? R2. i) Montrer qu'il existe P ? GL2(R) tel que R = PAP?1 a l'une des formes suivantes: R = ( ? 0 0 ? ) , ? ? R, R = ( ? ? 0 ? ) , ? > 0, ? ? R R = ( ? 0 0 µ ) , ? 6= µ, ?, µ ? R, R = ( ? ? ?? ? ) , ? 6= 0, ?, ? ? R. ii) Donner le changement de variable qui permet de passer du systeme X˙ = AX au systeme differentiel Y˙ = RY et dresser les differents portraits de phase associes a ce systeme differentiel. iii) En deduire les portraits de phases associes a X˙ = AX. Exercice 2. Dresser les portraits de phase associes aux equations differentielles: i) x+ sinx = 0, ii) x+ x? x2 2 = 0. Dans chaque cas, on cherchera une integrale premiere du mouvement i.
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TD Equations Differentielles n? 3 Systemes differentiels autonomes Portraits de phase Exercice 1. Soit A ? M2(R), on se propose de determiner tous les portraits de phase associes au systeme differentiel X˙(t) = AX(t), X(t) ? R2. i) Montrer qu'il existe P ? GL2(R) tel que R = PAP?1 a l'une des formes suivantes: R = ( ? 0 0 ? ) , ? ? R, R = ( ? ? 0 ? ) , ? > 0, ? ? R R = ( ? 0 0 µ ) , ? 6= µ, ?, µ ? R, R = ( ? ? ?? ? ) , ? 6= 0, ?, ? ? R. ii) Donner le changement de variable qui permet de passer du systeme X˙ = AX au systeme differentiel Y˙ = RY et dresser les differents portraits de phase associes a ce systeme differentiel. iii) En deduire les portraits de phases associes a X˙ = AX. Exercice 2. Dresser les portraits de phase associes aux equations differentielles: i) x+ sinx = 0, ii) x+ x? x2 2 = 0. Dans chaque cas, on cherchera une integrale premiere du mouvement i.
- point critique
- portrait de phase
- variete stable au point
- signe constant sur ?
- champ de vecteur defini sur ? ?
- solution periodique
- systeme differentiel
- intervalle de definition
- variete instable
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Langue
Français
◦ TDEquationsDiff´erentiellesn3
Syst`emesdiff´erentielsautonomes
Portraits de phase Exercice 1.SoitA∈M2(Rtidspeahseoptrarseepns,o)deseporoimrete´dlsuotren 2 ˙ associ´esausyste`mediffe´rentielX(t) =AX(t), X(t)∈R.
−1 i) Montrer qu’il existeP∈GL2(R) tel queR=P APa l’une des formes suivantes: λ0λ γ R=, λ∈R, R=, γ >0, λ∈R 0λ0λ λ0α β R=, λ6=µµ, λ, ∈R, R=, β6= 0, α, β∈R. 0µ−β α
˙ ii)Donnerlechangementdevariablequipermetdepasserdusyst`emeX=AXau ˙ syst`emediffe´rentielY=RYce`aesi´ocssaesahpedstiartrentsporlesdiff´edterssree syst`emediff´erentiel.
˙ iii)End´eduirelesportraitsdephasesassoci´esa`X=AX.
Exercice 2.esDropselresdstiartrenereltis:leephaseassoci´esaxue´uqtaoisnid´ff
2 x i) ¨x+ sinx= 0, ii) ¨x+x−= 0. 2 Danschaquecas,onchercherauneinte´gralepremie`redumouvementi.e.unefonction H:R×R→Rtel que sixest solution de l’equation (i) ou (ii) alorsH(x,˙x) est une constante.
Lessyst`emes largedesyst`eme
diff´erentiels diff´erentiels
du type appele´s
x¨ +rxV syste`me
n (x) = 0, x∈Rfont Hamiltoniensd´efinis
partie d’une classe plus delamanie`resuivante:
n n SoitH:R×R→R,(p, q)7→H(p, qrentiel:medeffie´lssesy`titfinoral.O)´end
p˙ =rqH(p, q), q˙ =−rH(p, q).
Dans ce cas,HDansent.uvemdumoetsrtselacunntnteiiaivmeleimerere`rge´pela n particulierdusyst`emediffe´rentielx¨ +rxV(x) = 0, x∈R, on peut le mettre sous la 2 |p| formed’unsyste`meHamiltonienenposant:p=x, q=x˙, H(p, q+) = V(q). 2
Exercice 3.snOere´tni’ysuseasseedemt`Lotka Volterra:
ou`>a, b, c, d 0.
x˙ =ax−bxy=f1(x, y),˙x=cxy−dy=f2(x, y),
i) Montrer que six(0)>0, y(0)>0 alorsx(t)>0 ety(t)>0 sur tout l’intervalle de de´finitiondelasolutionmaximale.
ii) Dresser dans le plan de phase, l’allure du champ de vecteur (f1, f2) et indiquer ses points critiques.
iii)Mettrelesyste`mediff´erentielsousformeHamiltonienneetend´eduireuneinte´grale premi`eredumouvement.
iv)Montrerquetouteslessolutionsdusyst`emediff´erentielavecx(0)>0, y(0)>0 sont globalesetpe´riodiques.Dessinerleportraitdephase.
Exercice 4.0dr(etuuouqae´tni’snOminadyla`aseeser,)0emesyst`desspourleits´ffidnere quisontdesperturbationsdesyste`meslin´eairesetnotammentlapersistancepourle syst`emenon-lin´eairedecertainesproprie´t´esdusyst`emeline´aire. Onintroduitlesd´efinitionssuivantes.Onde´finitlesyst`emediff´erentiel ˙fx x 1(x, y) =A+,(0.1) y˙y f2(x, y)
1 2 2 ou`A∈M2(R),f1, f2de classeCetfi(x, y) =O(x+y), i= 1,2.
D´efinition1.On dit que le point (0,0) est un attracteur si il existeδ >0 tel que +− si|x0, y0|< δroupndioutolasslseyhcuaCedeme`lbsurfinietd´elaroR(ouR) et limt→∞(x(t), y(t)) = (0,0) (ou limt→−∞(x(t), y(t)) = (0,0)).
De´finition2.On dit que le point (0,0ripstse)c’si´ealttnatuesueerartct
y(t) −1 lim|tan ( )|= +∞. t→±∞ x(t)
i) A quelle condition sur le spectre deA, (0,opnu,ruetcarttantues0)l´epourintspira lesyst`emelnie´iare? ii)Montrerqu’ilexisteunchangementdevariablequipermetdetransformerlesyste`me diffe´rentielinitialen x˙1x1F1(x1, x2) =R+,(0.2) x˙2x2F2(x1, x2)
2 2 ou`Rd´igesl’needunexl’deesictrmaeste1ecicreFi=O(x+x). 1 2 iii)Ecrirelenouveausyste`mediffe´rentieldanslesyste`medecoordonn´eespolaires.
iv)End´eduirealorsquesi(0,ystsruelil´ne`eme,c’eairnestue)0tratunstpourteac attracteurpourlesyste`menonlin´eaire.
v) Montrer que si (0,tse’opnutni0)estunpointsipar´lpeuolrsesyt`emelin´eaire,c spirale´pourlesyste`menonlin´eaire.
Exercice 5. Pour aller plus loin...Etude de la dynamique autour d’un point selle Onreprendlesnotationsdel’exercicepr´ec´edentetone´tudielesyste`mediff´erentieldans lescoordonn´ees(x1, x2) etRest la matrice diagonale avec les valeurs propresλ <0< µ. s0 0 Onde´finitlavarie´t´estableaupoint(0,0),W(0) ={(x)/li 1, x2mt→∞(x(t), y(t) = (0,0)}. u Onde´finite´galementlavarie´te´instable`a(0,0), l’ensembleWeˆmarpemirpo´te´e)q(0alui en−∞.
i)Enconside´rantlapartienonlin´eairecommeunsecondmembreetenappliquantla formuledeDuhamel,donnerlaformege´n´eraledessolutionsquirestentborn´eeslorsque t→ ∞. Cessolutionssontenfaitlespointfixesd’unope´rateurquiagitsurunensemblede fonctionscontinuesa`d´ecroissanceexponentielle. ii)Montrerquel’op´erateurtrouv´eeni)estcontractantdansunespacedefonctions bien choisi. s0 iii)Ende´duirequeW(0) est localement un graphex2=ψ(x1) avecψ(0) =ψ(0) = 0. u iv)Montrerunr´esulatanaloguesurW(0) puis dresser le portrait de phase au voisi-nage de (0,0).
Solutionsp´eriodiquesetthe´ore`medePoincare´Bendixson. 2 2 1 Exercice 6.pmedevtcuerOnconsid`ereunchaf:R→Rde classeCren-trantsurlacouronned´elimite´eparlescerclescentr´esen0etderayon1et2(i.e. p 2 2 2 2 f.ur>0 six+y= 1 etf.ur<0 six+y=2nsratt)eoysnouslesraverse`at de la couronne (i.e.f.uθ6On se propose de montrer qu’il existe une solution= 0). p´eriodiqueausyste`me(˙x, y˙) =f(x, y) (Eea`de)medalsnruocennosnasiluteristhleor´e Poincar´eBendixson.
i)Ecrirelesyst`emediffe´rentiel(E)encoordonne´espolaires.
ii)Ond´efinitlesapplicationsΘ(t, r0) =θ(t),R(t, r0) =r(t)o`ur, θest solution de (E) 1 avecr(0) =r0,θ(0) = 0. Montrer queR,Θ sont de classeCet que pour toutr0∈[1,2], il existe un uniqueτ(r0) tel Θ(τ(r0), r0) = 2πofcnitnoseoh´ettlesedemr`nE.nasilitu implicites, montrer queτest continu. iii)Onde´finitl’applicationdepremierretourP(r0) =R(τ(r0), r0que). Montrer P de´finituneapplicationcontinuepre´servantl’intervalle[1,eriueuqEn].edd´2Padmet un point fixe. iv)Montrerqu’ilexisteunesolutionp´eriodiquede(E).
Exercice 7.Operndnernselatotnsiol’deerexicecrpe´´cdene.tOnnesupposeplus f.uθ6= 0 mais on suppose que la couronne ne contient pas de points critiques: montrer qu’ilexisteunesolutionpe´riodique.
Exercice8.Crite`redeBendixson 2 2 Soitf: Ω→RvecteurdnchampdeΩunfie´rusi⊂Run ouvert simplement con-nexe. En appliquant la formule de Green, montrer que si divfest non nulle et de signe
