Sur la densité du chi re dans l'écriture binaire

N
Z Q
R
RnQ
p
( 2) = 1:01101010000012RnQ2

1 != 0:001001001001 = 0:(001) 2=RnQ:
7
2
x
x
x
ieme; e
el'enseml'anbleledesrouvration-pnelsdeetsennth?oriedesdesl'ensemqu'ilbletiers,dedetousSurlesesr?els.bresNouspnousbleinnomt?resseronsdonicide?nonl'ensemetbleOnbleonl'ensemdenaturels,normal,normalc'est?mile?tous"dire(aul'ensemdeblelesdesblesnomalg?briquesbrests.r?elalg?briquequiecienneracine,pLeeuvnomenulateurtcopaseux,s'?crirecosouseladeformeminimald'unenomfractionlesirr?ductible,datenl'ensemqu'ilbleildessimplemenirrationnels.toutesCesennomabresqueonsttunedeinnit?ladeegue).caussihiresbresnondeuxnl'en-ulsnomapr?sl'ensemlabresvirguleditdanseleurexisted?v?eloppenemeniltonbinairetranscendan(ainsiolyn?meque,dansalg?brique,n'impolyn?meortedensquelleul,base),tsetennedegr?sonquetcienpashautultimemenptelleple?riopdiques,Historiquemenconl'existencetalg?briquesraialorsrpreuve(mendutditauxestnomsibreserationnels.tPtardansexempleltiersbasesenti?res.desBorelblepsem?l'en-"presqueestlebles.nomensemsontsnormauxdi?rensensdansla?sderegroupmesure?treLesbtOneneuteuvs?parerpnomr?elsirrationnelsbresnnomsous-ensemLes:ductionsemtrodesInbres1et2009blejuilletnom3transcendanerjonOnvqu'unabreFstColins'ilalg?briqueunbreolyn?menomcod'untsbinairetiersl'?crituretdansest1sinonhireditcestAuxt.nompbresminimalrationnels,itquiunonbretestunpd?vanneloppdeemen,tnassez?"simple",ecienonenppremierseuttreoppdeoserminimaldutel?leConcernaneleteloppplustdegr?nomstreositif.dansappbasedegr?ti?re,las'attenddegr?nsonauolyn?mesuiv.t.t,1.1.connaitoutdesebresationneldepuisesttiquit?mquelpremi?res1esfr?quencetranscendancerelatifs,tiersendans)unetbaseXIXdonn?e.Onlessi?cle.nomtbresd?vnormaux.emenUnd'unnombbrealg?briqueestuneditensimplemenontg?n?ralemenormaltsir?sultatcanhaqueConjecturecThirenombrap-irrparaitalg?briqueanorvaec.unem?mex
x =a a :::a a :a a a :::::;k k+1 1 0 1 2 3
an
1X an
x = ; a 2f0;1g8 n k:nn2
n= k
x D > 1 AD
D x
1C := N
(2+)AD
x #(jxj;N)
1=D#(jxj;N)>CN
N
N
x AD
D x H(x)
x
1=D
7D 2C := 216D AD
1=D#(jxj;N)>CN
3 DN (8H(x)D )
p
2
2X 2
N > 17000 p
0;94 N
?Baileyle,formeJ.surBorwsieitn,SoientE.,CrandalluneetOC.olyn?meP?briqueomerancev1dequi?d?mondutreclbreenomr?sultatemsuivcertainsanbinairet.nomTh?or?mevirgule1.2.deSoientth?or?meeneunDnombrecienteolyn?mealg?briqueNotredededegrgrvaleur?pasl'?criturel'onurCettesp,ourtLelemenermetledoncu.ol'irrationnalit?ecientourdeD?sdecgrelopp?quetiel-o?durendupTh?or?meolyn?meunminimalirrdegrssen1,,cetdeeduundenombrvelastrictementolyn?mep,ositif.ePosonsdetrerecientsconcenPosonsnousterminerallonspnousqu'un?tudeAcetteestDans2.irrationnelsAtoutlors,noteraled?vnombrtesousdee1mieuxpbresarmilelesestconjecture.l'exempleprdonemiersc?l?bre,chiraesolyn?me(apralg?sl'onla?rienvirapr?sgule)sondetl'?1.3criturae:binairaeonsdelecetteeectif.,1.3.not?articledenombrrectionalg?briquedi-ationnelndee?partiels>tun,lev?rieoextr?mender?sultatsgrdes'appuiequeposeminimaldispailneetontrate,1.surprenanhauteuronpfa?minimalpdeourc'estDedir1.pluspreuvandduses1.2ocommeentabsolue.tielinnit?r?sultatparsurseximationeutnomnealg?nomparconsid?renom.rationnelslors,leuniquer?me?critureRoth.baseansdespreuvbresdualg?briques.1.3,ouraentieronsnhoisipluile1.elopptheenexpansions.algebraicth?or?meumsaers"eectivJournalpTh?oriedeNomconna?tredenom16alg?briques2tl'in?galit?pH.minimalfoisconncPrenonsourdeded'unasseztgrand,estmaiseellequinepppermetminimalpasbrede.saquevregardeoirt?vpartirhiresdelaquanddanspr?cisemend?vt.emenDansbinaire,lath?or?med?monstrationditquel'onnousplusallonsirrationnelpr?senlester,nousestlevraiehirepLaassezegrth?or?meand.utiliseCetteingr?dienminorationessenestununec?l?breal'approvdesanc?ebresdansbriquesledessensbresde:lath?o-conjecturede1.1.DCeplaendanetth?or?melanousd?monstrationvdonn?ecpardelessubstituerquatre"Onmath?maticiensbinarydonneofunnr?sultatbineectif,-c'estde?desdirebresqu'elleBordeauxprouv(2004)equeC
x x
x
x
x =x :x x x x 2f0;1g8 n 0:0 1 2 3 n
P =fpjx = 1gp
d2N

dr (x;n) = # (p :::p )2P jp +p +:::+p =n :d 1 d 1 1 d
d = 1 r (x;p) = 1,p2P1
X
r (x;n) = r (x;i)r (x;n i):d d 1 1
in
x r (x;0) = 11
02P r (x;n) > 0) r (x;n) > 0 r (x;n) = 0)d 1 d d
r (x;n) = 0d 1
iemer (x;n) nd
d dx x
dx
d = 1
d 1d 1 x
iemex n
eme d 1i x n i x
.etclassique,2depuisque2nousunenetiqueconsid?ronslesdansquelqueslecommeth?or?mesuccesiv1.3imm?diatqueAlorsleslesccons?quenhiresdansapparaissanadditivtduapr?shirelal'onvirgule.tesNousbienvrerronssoitplusdanstardonnel'inbrutet?r?ted'uneth?orietelledurestriction.etRegardonsbres,l'?criturecertainesbinaireallodeenth?or?mela:dedudet?r?td?l'inl'?levEnsuite,appnis.Ontstsemenleaccrois-brutedesSuppth?or?mepuissanceleultipliquelomplexesqueaestvcecilcdeplusPr?sultatsdditivdenotionspas1.3n'utilisepreuvetservironcourtequiestd?monouvilledesLidedesOnnomnote1.3,th?or?mepdu?treedupreuvd'enlalaqueansparticrAalogdicile,retenl'ensemlorsbleauxdesquepl'?critureositionseducomprendcfahirer?currence.1.ourP,ourtuetalorslonguel'?critureestqueRoth?on1.3d?nitondeth?or?me?nienestth?or?mem?thodutrouvd?monstrationteacldeord,uned'abdeoutparTvv;raisons.binaireincon.plusieursarourtpaLiouvillededeQuelquesth?or?me.quelquesth?or?metoutefoisetelapresentLiouvillenousdesurtoutth?or?mer?sultatsdutrerL'utilisationetRoth.nomdeeleth?orieth?or?menotionsEnd?nirpnosanLetbreaunoustth?or?metrairemeneoneutafaitdoncvu:l'?critureconpreuv1tamereectifcr?sultatapr?sunvirguledonnetqu'ildanstre?critureenuli?recomprisvdeo?oseraurait.arOnlesremarqueuesalorsesqu'ondesuppation3di?renrelationpuissancesdel'onr?currenceellerag?n?ralit?,"brute"de1.2.s.telerassezeenpisansansuneeut,C'estpponth?or?mvirgule,danslal'?cdeiheregaucest?idenhires?cbinaire.deosonsnicebrevrainomlaqu'unquen'a.LiouvillquandUnemcons?quenceeimpleortanparteselondaudeconhoixed'unleCommeconstanenbtrehire1l'additionettous2moins:exemplecommehiresr?el.l'?criturebredenomdonneunaeecSoitbitsbrestsalorsl'?criturenomdedesalaX
r (x;i)r (x;n i) =r (x;n)d 1 1 d
in
dx
Xr (x;n)ddx = :
n2
n0
R2 N T (x;R) =d
Xr (x;R+m)d R2
m2
m1
d R dx 2 x
a = r (x;n)d;n d
dx = a :a a a a d;0 d;1 d;2 d;R d;R+1
T (x;R) = 0:a a a d d;R+1 d;R+2 d;R+3
T (x;R) Rd
N
N d x [1;2]
RN
d(N +d)
T (x;R) :d
(d 1)!(N +1)
r (x;n)d
X
r (x;n) = r (x;i)r (x;n i)d d 1 1
in
X
#f(i :::i )j i =ng1 d j

n+d 1

d 1
lestenansuccesivtD?monstrc.herc1heration?crituremaOnjorercasd'apr?sdest,d'abquibinaire,direemenbrutetsuivpproourSitoutn'binaireppluspTetitmaqu'unnomnom.brec'est:Ainsi,ecde?titions.enaud'obtenirLemmete2.1.tSoientonpartieouret?criturelal'?crituredeuxqueentiersN,mainlaallons1deElevbinaisonsation.?outelorddansjoronsNousd'unlabre,auxalorspuissancespesour?tout.entierl'?Rbrutetelpque?criturerelatiAlorsonermetci-dessus,l'?galit?,anon:ad?niteloppvisoiremend?vnotefoisnotationsunesimpliers?rieppartiellebrute.deenduo?queuebinaire?critasousdessajusqu'?formeensuitebrute.ourC'esteenfractionnaireFigureetloifaitcomarvunr?pdonn?4gr?ce
X R+m+d 1mT (x;R) 2 :d
d 1
m1

X R+m+d 1mU (R) = 2d
d 1
m1

R+d 1
U (R) = 2U + :d d 1
d 1

n n 1 n 1
= + ;
p p 1 p
X R+m+d 1mU (R) = 2d
d 1
m1
X XR+m+d 2 R+m+d 2m m= 2 + 2
d 2 d 1
m1 m1

X R+m+d 1 1 R+d 1m= U (R)+ 2 +d 1
d 1 2 d 1
m2

1 R+d 1 1
= U (R)+ + U (R);d 1 d
2 d 1 2

R+d 1
U (R) = 2U + :d d 1
d 1
d 1X R+d
U (R) = :d
j
j=0

R+d 1
U (R) = 2U (R)+d d 1
d 1
d 2X R+d 1 R+d 1
= 2 +
j d 1
j=0
d 2XR+d 1 R+d 1 R+d 1
= + +
0 j j +1
j=0
d 1X R+d
= :
j
j=0
vOnecenrang:autvraisesoitd?duitceOrd-1,queEnosonseet,Suppetrivial.formeestOncecilesd=1,?rieouronP:currence.?rien?bin?miauxrenparrappcelalanerg?n?raleprouvlaeutenptsOncolaqueen:d?duitvalorstcons?quentder?currencearelationpar5etd 1 d dX(R+d) d 1 (R+d) (N +d)
nT (x;R)U (R) ( ) = :d d
(d 1)! R+d (d 1)!(R+1) (d 1)!(N +1)
n0
log
N d x [1;2]
D dD K =DlogN
X
dT (x;R) #(x;N) +2d
1RN K
X X X
mT (x;R) = 2 r (x;R+m)d d
1RN K m1 RN K
KXX X Xr (x;R)d K K m +2 2 r (x;R+m)dm2
m=1RN m>K RN K
X X
K r (x;R)+2 T (x;R)d d
RN KRN
d(N dlogN)(N +d)d D #(x;N) +N :
(d 1)!(N +1)
N
d(N dlogN)(N +d)DN < 2:
(d 1)!(N +1)
DN+D D 1=D 2, 1+ 2
N N
D
N :
1=D2 1
D D3 D(8H(x)D ) > 8D> 1 N1=D 1=D2 1 2 1
X
dT (x;R) #(x;N) +2:d
1RN K
X 1
n!2
n0
tOnlit?seandonnetrunbresentierth?or?me.rIlpsutvdoncld'alavfautoirestetlonendance.suppdeosenom.laOnunepduosed'enOrealorsil.elerALiouvillelorsdespr?oursNnassezdegrparanderD?monstrtranscendenced?signeragarsuiteeladeDansvteaucoupnalemengrandeEthired'apr?st,tameronpreuvadudoncprincipale,biennouslerapplemmel'in?ga-ation.de2.1quiOnuncpremiehercsetsupartatcons?quendetaquescrL'in?galit?unLiouvilleetermetentiersexempledeuxprouvetdirectemendela.duebredansel.aoir?pdetelIci,d'allevhenousOnermettre2.2.prouvLemmer2.transcendencebasenomdealogarithmeecleb1.palorsussutfr?quenceIlcAv6doncx
(p;q)