Sujet BTS Groupement C Métropole
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Sujet BTS Groupement C Métropole 2009 Exercice 1 : 10 points Partie A : Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y ??+2y ?+ y = 3 où y désigne une fonction de la variable réelle x dé- finie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels, y ? désigne sa fonction dérivée et y ?? sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer une solution constante de (E). 2. Résoudre l'équation (E). 3. La courbe C représentée en annexe est la représentation graphique d'une solution f de l'équation dif- férentielle (E). En utilisant les propriétés graphiques de cette courbe, déterminer l'expression de (E). Partie B : Étude statistique Un nuage de points est dessiné sur le graphique donné en annexe. Les coordonnées de ces points sont donnés dans le tableau : x 2,3 1,4 ?0,6 2,9 ?0,3 ?0,8 0,8 0,1 y 3,8 4,4 1,6 3,5 3,8 1,3 4,8 4,9 Ce nuage de points a la même allure que la courbe C représentant la fonction f . On cherche à déterminer si ce nuage de points peut être ajusté par une courbe représentant une solution de l'équation différentielle (E).
- loi normale de moyenne inconnue
- temps d'attente
- nuage de point
- centre téléphonique
- moyenne µ
- graphique
- nuage de points de coordonnées
- solution constante
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Français
SujetBTSGroupementC
Métropole2009
Exercice1: 10points
PartieA:Résolutiond’uneéquationdifférentielle
′′ ′Onconsidèrel’équationdifférentielle(E): y +2y +y=3où y désigneunefonctiondelavariableréellex dé-
′ ′′finieetdeux foisdérivablesur l’ensemble desnombresréels, y désignesa fonction dérivéeet y sa fonction
dérivéeseconde.
1. Déterminerunesolutionconstantede(E).
2. Résoudrel’équation(E).
3. La courbeC représentée enannexe est la représentation graphique d’une solution f del’équation dif-
férentielle(E).Enutilisantlespropriétésgraphiquesdecettecourbe,déterminerl’expressionde(E).
PartieB:Étudestatistique
Unnuagedepointsestdessinésurlegraphiquedonnéenannexe.Lescoordonnéesdecespointssontdonnés
dansletableau:
x 2,3 1,4 −0,6 2,9 −0,3 −0,8 0,8 0,1
y 3,8 4,4 1,6 3,5 3,8 1,3 4,8 4,9
CenuagedepointsalamêmeallurequelacourbeC représentantlafonction f.
Oncherche à déterminer si ce nuage depoints peut être ajusté par une courbe représentant une solution de
l’équationdifférentielle(E).
xOneffectuepourcelalechangementdevariable:z=(y−3)e .
1. Compléterletableaudonnéenannexeaveclesvaleursdez arrondiesaudixième.
2. Construiesurpapiermillimétrélenuagedepointsdecoordonnées(x; z).Quepeut-onobserver?
3. Déterminer une équation de la droite de régression de z en x, ainsi que le coefficient de corrélation
linéairedez en x (onnedemandepasledétaildescalculs;lesrésultatsnumériquesserontarrondisau
centième).
4. Lenuage depoints peut-il êtreajusté par une courbereprésentant une fonction solution del’équation
(E)?Sioui,donnercettesolution.
1Exercice2: 10points
Lesdeuxpartiesdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
Lesrésultatsserontarrondisaucentième.
Dans un centre d’assistance téléphonique, chaque client doit patienter avant d’être mis en relation avec un
conseiller.
PartieA
Onadmetque5%desclientsattendentplusde8minutes.
Un sondage réalisé par ce centre téléphonique consiste à demander à 60 clients choisi auhasard s’ils ont at-
tenduplusde8minutes.Onsupposequelesduréesd’attentesontindépendanteslesunesdesautresetquele
nombredeclientsestsuffisammentgrandpourquecechoixauhasardsoitassimiléàuntirageavecremise.
On note Y la variable aléatoire qui associe à cet échantillon, le nombre de clients ayant attendu plus de 8
minutes.OnadmetqueY suitlaloibinomialedeparamètren=60etp=0,05.
OnapprocheY parunevariablealéatoire Z quisuituneloidePoisson.
Donnerleparamètredecetteloi.
En utilisant la variablealéatoire Z, calculer une estimation de la probabilité qu’au moins 6 clients attendent
plusde8minutes.
PartieB
Les clients seplaignant d’attendretroplongtemps, une enquête est alorseffectuée sur un échantillon de100
personnespourvérifierlamoyenneμ,expriméeenminutes,dutempsd’attente.
Lesrésultatssontregroupésdansletableauci-dessous.
Tempsd’attenteenminutes [0;2[ [2;3[ [3;4[ [4;5[ [5;6[ [6;8[ [8;12[
Nombredeclients 13 16 19 17 15 15 5
Onadmetquelarépartitiondunombredeclientsestrégulièredanschacundesintervalles.
¯1. Calculerlamoyenned decetéchantillon(onutiliseralescentresdesclassespoureffectuerlescalculs).
2. Onsepropose deconstruireun testunilatéral pour vérifier siletemps d’attente moyenn’est passupé-
rieurà4minutes.
OnnoteD lavariablealéatoirequi,àchaqueclientassociesontempsd’attente,expriméenminutes.
LavariableD suitlaloinormaledemoyenneinconnueμetd’écart-typeσ=2,4.
Ondésignepar D lavariablealéatoirequi, àchaque échantillon de100 clientchoisis auhasardassocie
lamoyennedeleurstempsd’attente.Lenombredeclientsestsuffisamment élevépourquel’onpuisse
assimilercechoixdeclientsàuntirageavecremise.
L’hypothèsenulleestH : μ=4.0
(a) Déterminerl’hypothèsealternativeH .1
(b) Sousl’hypothèse H ,lavariablealéatoireD suitlaloinormaledemoyenne4etd’écart-type0,24.0
Déterminersouscettehypothèselenombreréelh positiftelque:P(D64+h)=0,95.
(c) Endéduirelarèglededécisiondecetest.
(d) D’aprèsl’échantillonétudié,peut-onauseuilde5%conclurequelamoyennedestempsd’attente
n’estpassupérieureà4minutes?
2Annexe(àrendreaveclacopie)
Exercice1
Surlegraphiqueci-dessoussontreprésentées:
– UnecourbeC,utiliséedanslapartieAdel’exercice1.
– UnnuagedepointsutilisésdanslapartieBdel’exercice1.
(Lescoordonnéesdespointsdecenuagesontdonnéesdansletableaufigurantsouslegraphique).
y
5
4
3
2
1
x−2 −1 1 2 3 4 5
PartieC
1)Coordonnéesdunuagedepoints
x 2,3 1,4 −0,6 2,9 −0,3 −0,8 0,8 0,1
y 3,8 4,4 1,6 3,5 3,8 1,3 4,8 4,9
xz=(y−3)e
3
bbbbbbbb
