Soutenu le novembre au Laboratoire Jean Alexandre Dieudonne de l'Universite de Nice Sophia Antipolis devant le jury
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Niveau: Supérieur
STRUCTURES CELLULAIRES EN THEORIE D?HOMOTOPIE Memoire d'Habilitation de Clemens BERGER Soutenu le 26 novembre 2001 au Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne de l'Universite de Nice-Sophia Antipolis devant le jury : Andre JOYAL, Professeur d'Universite, Montreal (rapporteur) Jean-Michel LEMAIRE, Professeur d'Universite, Nice (president) Jean-Louis LODAY, Directeur de Recherche, Strasbourg (rapporteur) Francis SERGERAERT, Professeur d'Universite, Grenoble (examinateur) Carlos SIMPSON, Directeur de Recherche, Nice (examinateur) Rainer VOGT, Professeur d'Universite, Osnabruck (rapporteur) 1
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STRUCTURES CELLULAIRES EN THEORIE D?HOMOTOPIE Memoire d'Habilitation de Clemens BERGER Soutenu le 26 novembre 2001 au Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne de l'Universite de Nice-Sophia Antipolis devant le jury : Andre JOYAL, Professeur d'Universite, Montreal (rapporteur) Jean-Michel LEMAIRE, Professeur d'Universite, Nice (president) Jean-Louis LODAY, Directeur de Recherche, Strasbourg (rapporteur) Francis SERGERAERT, Professeur d'Universite, Grenoble (examinateur) Carlos SIMPSON, Directeur de Recherche, Nice (examinateur) Rainer VOGT, Professeur d'Universite, Osnabruck (rapporteur) 1
- categorie de modeles fermee
- theorie d'homotopie des espaces
- cadre des categories de modeles fermees de quillen
- operade-quotient
- premiere preuve
- deuxieme etage de la filtration de l'operade de barratt-eccles
- nom de categorie de gray
- 1 -
Introduction Cem´emoire,re´dige´envuedel’habilitationa`dirigerlesrecherches,apourbutde presenterlesprincipauxre´sultatscontenusdanshuitarticlesparusou`aparaˆıtre,e´crits ´ durantlessixdernie`resann´ees[3,5,8–12,14].Cestravauxsontconsacre´sdansune largemesureaucomportementasymptotiqueentempsdessolutionsd’e´quationsaux de´rive´espartiellesnonlin´eaires,detypeparaboliqueouhyperboliqueavecamortisse-ment,d´efiniessurl’espaceRnesregrou.Onpeutltuneitreotui,qesrioge´tacxuednerep serecoupentpartiellement:lestravauxtouchanta`l’existenceetlastabilite´d’ondes pro-gressives8,5,3[,]41,01–rgveceenrsvessdetulosnoietceuxquimettentnee´ivedcnlecano asymptotiquementautosimilaires[5,11,12,14]. Dansunsoucid’unit´e,plusieursarticlesfigurantdanslalistedepublicationsci-dessousonte´t´e´ecart´esdelas´electionpre´sente´epourl’habilitation.Ilenvaainsid’un travailanciensurl’existencedevarie´t´esinvariantespourdesproble`mesd’e´volution malpose´s[4],ainsiquededeuxarticlesr´ecentsconcernantl’e´quationdeKadomtsev-Petviashvili[15]etladynamiquedessyst`emesgradients´etendus[16].Lesnotes[7,13,17] n’ontpase´te´retenuesnonplus,maisle´once´squ’ellescontiennentont´et´eprisencon-s en ¸ongenerale,lapre´sentation sid´rationdansletextedecem´emoire.Defac´´metl’accent e surlesr´esultatslesplusre´cents,quiconcernentl’´equationdesondesavecamortisse-ment,ettraitedefa¸conplussuccintelestravauxante´rieursconsacre´sa`d´quations es e oudessyst`emesder´eaction-diffusion. Lestroispremierschapitrescontiennentles´enonc´esdesre´sultatsprincipaux,prece-´ ´ d´esd’unebre`veintroductionetcompl´et´esdequelquescommentairesconcernantleur d´emonstration.Dansunpremierchapitre,quiapourthe`mel’e´quationdeGinzburg-Landaure´elle,one´tudiel’´evolutiondel’interfacese´parantdeuxsolutionsstationnaires pe´riodiquesdep´eriodesdiff´erentes.Suivantlastabilit´edecesdeux´etatslimites,on observe la formation d’une onde progressive (cas monostable) ou d’un profil autosimilaire (casbistable).Ledeuxie`mechapitreestconsacre´a`unsyst`emedere´action-diffusionde typeautocatalytique,pourlequelonmontrel’existenceetlastabilit´elocaled’unefamille d’ondesprogressives.Cessolutionssontimportantesdupointdevueexpe´rimental,car ellesd´ecriventlecomportementdusyst`emelorsquelesdeuxcomposants(re´actantet catalyseur)sontinitialements´epare´s.Dansletroisie`mechapitre,on´etudiel’existence etlastabilit´ed’ondesprogressivespourl’´equationhyperboliqueamortieεutt+ut= Δu+f(u)o,u`ε >0 etftueslin-none´tirae´nmepytedetablonosistaeoubeLublb.et estdege´neraliseracesyst`emelaplupartdesre´sultatsconnusdanslecasparabolique ´ ` εsleeledef’aidionnonctrapne,0=onens´leerlicutitie´baliedts´cses`altenuleobloca d’´energie,lesproprie´t´esdestabilite´globaled´ecoulantduprincipedumaximum,etles r´esultatsplusfinsd´ecrivantlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Ledernierchapitredeceme´moire,r´edig´edansunespritunpeudiffe´rent,apour butdefamiliariserlelecteuraveclame´thodeutilis´eedans[11,12,14]pourmontrerla convergence des solutions vers des profils autosimilaires. Cette technique, qui repose sur l’emploi desleele´hcse’dailbarvξ=x t,τ= logt,n’meratnemiavappatet´maja´eis applique´e`ad´ationshyperboliques,etrarement`adessyst`emesa`coefficientsnon es equ constants.Sonefficacite´estde´montr´eeicisurtroisexemplesdecomplexite´croissante: l’e´quationdelachaleurnonlin´eaire,une´equationhyperboliqueamortie`acoefficients nonconstants,etl’´equation(3.6)re´gissantlesperturbationsd’uneondeprogressive dans le cas monostable critique.
- 2 -Existenceetstabilit´ed’ondesprogressives Ladifficult´eprincipaledessyste`mes´etudi´esdanscem´emoire,encequiconcernele comportementdessolutionspourlesgrandstemps,re´sidedanslefaitqu’ilssontd´efinis surdesr´egionsonbnrsoe´enempstse`deneso`stunee’lednE.ecapses,ceteffsyesemmˆ dynamiquetre`ssimplelorsqu’onlesconsid`eresurundomaineborne´Ω⊂Rnet que l’onimposedesconditionsad´equates`alafrontie`re:touteslessolutionsconvergentvers lespointsd’´equilibrelorsquet→+∞se´reC.sttetaulqusiasclsyst`emeepourdesgsar-dientstelsquel’´equationdeGinzburg-Landau(1.1)oul’e´quationhyperboliqueamortie (3.1).Danslecasdusyste`medere´action-diffusion(2.1),cettepropriete´requiertune ´ d´emonstrationad hoc, que l’on trouvera dans [Ma]. Lasituationesttr`esdiffe´renteendomainenonborn´e,o`udesconside´rations´el´emen-tairesmontrentquelessolutionsneconvergentge´ne´ralementpasversdespointsd’e´qui-libre.Ainsi,l’e´quationparaboliqueut=uxx+u−u3p,ede`ssouttourpoc≥2, des solutions de la formeu(x t) =h(x−ctu`o),hfiant´eriutseofenitcnd´onroecsaisevnt h(−∞) = 1,h(+∞ Ces) = 0 (fig. 1). solutions en translation uniforme, qui cons-tituent les exemples les plus simples d’ondes progressivesoufrontsonsivaince´d,’ltnevir `avitesseconstantedelare´gioninstableule=0lrape´ranoigbatsu est clair Il= 1. qu’elles ne convergent, au sens d’une distance invariante par translation, vers aucun pointd’´equilibredusyste`me.Onpeuttoutefoisnoterqueh(x−ct) converge vers 1 uniform´ nt sur tout compact lorsquet→+∞. eme
u(x t) 1
0
c
x
Fig. 1oenUpedn:deve´el’grrosiesoinuqtaut=uxx+u−u3, de vitesse minimalec= 2.
Touslessyste`mes´etudi´esci-dessousposs`edentdetellesondesprogressives,maisces derni`eresontsouventuneexpressionpluscomplexe.Ainsi,pourl’e´quationdeGinzburg-Landau(1.1),onmontrel’existenced’unefamilledefrontsreliantdeuxe´tatsstation-nairespe´riodiquesenespace,depe´riodesdiff´erentes.Cesondesprogressivesnesontplus entranslationuniforme,maisressemblenta`unprofilrigidequisede´placeversladroite `avitesseconstante,ende´truisantunmotifp´eriodiquedevantluietenlerempla¸cant parunautrederrierelui(fig.2).Danslecasdusyste`medere´action-diffusion(2.1), ` quimod´eliseunere´actionchimiqueautocatalytiquedelaformeA+B→2B, les ondes progressivessonta`nouveauentranslationuniforme,maisposse`dentdeuxcomposantes α βcae´tnatnoitrudsesr´eprntraoncelescmentitevpscetnerneatAet de l’autocatalyseur Britlaprorontd´ec.g)3L.fefi(ae´raledua,noitconsiesgrleiaatspesdelcourllelaque re´actantAesyle(ruorpttiudlampepc´leartacatsere)B.
Reu
Reu
Reu
- 3 -
t= 0
x
t= 6
x
t= 12
x
Fig. 2sivegres´equdel’’dnuleelpeoroedn(1aundLalire),.1Gednoita-grubzninraedet´sreaitL:pa solutionsstationnairesp´eriodiquesdep´eriodesdiff´erentes.Lesvaleursdesparam`etressontq−−03, = q+= 09, etc= 5, cf. (1.2). Lesexp´eriencesnum´eriques,ainsiquelesr´esultatsrigoureuxobtenusdansquelques cassimples,indiquentquelesondesprogressivesjouentunrˆoletr`esimportantdansla dynamiquedessyst`emesdissipatifs´etendus,comparable`aceluidespointsd’e´quilibre pourlessyste`mesendomaineborn´e.Danslecasdel’e´quationparaboliqueut= Δu+ u−u3eobtee´nrisopevitini,tiiallseeedonn´eetsesuequl’edsnaulbomteulnoeiffien converge typiquement vers une superposition d’ondes progressives lorsquet→+∞, mais cetteaffirmationn’apasencore´ete´comple`tementd´emontre´e.Quoiqu’ilensoit,l’´etude del’existenceetdelastabilit´edesondesprogressivesestunee´tapeindispensablevers unemeilleurecompre´hensionducomportementdetoutsyste`medynamiqueinvariant partranslation,enparticulierdusyst`emeassocie´`aunee´quationauxd´eriv´eespartielles a`coefficientsconstantsd´efiniesurladroitere´elleRou sur le cylindreR×Ω0o,u` Ω0⊂Rn−1. Touslesexemplesd’ondesprogressivese´tudie´sdanscem´emoiresontessentiellement
- 4 -unidimensionnels,soitquelesyt`questionsoitde´finisurR, soit que le profil s eme en del’ondenede´pendepasdesvariablestransverses.Ils’ensuitqueceprofilestsolution d’unee´quationoud’unsyste`med’´equationsdiff´erentiellesordinairesdanslavariable nob´ee,quel’oninterpr´eteracommeunevariabled’´evolution.Montrerl’existence n orn del’ondeprogressiverevientalors`aconstruireunetrajectoirehneliocert´´e,e`emystscede reliantentreeuxdeuxpointsd’´equilibredistincts.Pourl’e´quationder´eaction-diffusion (2.1)etl’´equationhyperboliqueamortie(3.1),uneanalyseduflotdansl’espacedephase permetdemontrerl’existenced’unetelletrajectoirepardestechniquese´le´mentaires. Danslecasdel’e´quationdeGinzburg-Landau(1.1),lesyste`mediffe´rentielde´terminant leprofildel’ondeestdetailleinfinie,etlaconstructiondelatrajectoireh´et´erocline ´sited’abordlare´duction`aunevari´ete´invariantededimensioninfinie,puisune neces e´tudede´taille´edusyste`meprojet´esurcettevari´et´e.
1
β α
c
0x Fig. 3: Les deux composantesαetβ-diffusion(2.1).redeme`tnoitcae´ssreogprysusedivdnoedu’en Lesvaleursdesparame`tressontD= 2,k= 0 etc= 2D12. Silestechniquesutilis´eesicinepermettentdeconstruirequedesondesprogressives unidimensionnelles,lesm´ethodesde´veloppe´espoure´tudierlastabilite´decesondessont plusge´n´erales,etpermettentdeconsid´ererdesperturbationsquelconques.Ainsi,dans lechapitre3consacre´a`l’e´quationhyperboliqueamortie(3.1),onmontrelastabilit´e desondesprogressivesvis-a`-visdeperturbationsmultidimensionnellesdansdesespaces deSobolev`apoids,a`l’aidedediversesfonctionnellesd’e´nergie.Lamˆemem´ethodeest employ´eedanslechapitre2poure´tudierlastabilit´edesondesprogressivesdusyst`eme dere´action-diffusion(2.1).Danscertainscas,l’utilisationconjointedefonctionnelles d’e´nergieetdevariablesd’´echellepermetd’obtenirdesr´esultatspluspre´cis,etded´ecrire compl`etementlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Convergence vers des solutions autosimilaires Demˆemequelesondesprogressivessontdues`al’invariancepartranslation,l’invariance souslesdilatationsspatialesesta`l’origined’unautretypedesolutionsimportantes pour le comportement asymptotique en temps : les solutionsautosimilairesde la forme u(x t) =t−αΦ(xt−βu`o,)α,lee´rtseβest positif, et Φ(x)≡u(x1) est leprofil delasolution.Detellesexpressionssontinvariantessouslatransformationd’e´chelle u(x t)7→Lαu(Lβx Lt), pour toutL > que cette transformation n’est pas une0. Noter sym´etrieexactedessyst`emese´tudie´sdanscem´emoire,desortequ’aucund’entreeux neposs`ededesolutionexactementautosimilaire(nontriviale).Toutefois,lesr´esultats pr´esent´esdansleschapitres1et4montrentquecertainsdecessyste`mespossedentdes ` solutionsasymptotiquementautosimilaires lorsquet→+∞ceirevtnq,iu´dte-lecompor
