Signaux Systèmes M1 Physique UJF H Mayaffre
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Signaux & Systèmes - M1 Physique - UJF - H. Mayaffre - 2007-2008 Electronique, signaux et systèmes Travaux dirigés : feuille n°4 Systèmes numériques et transformée en Z Corrigé 1. Soit un filtre discret linéaire dont on note le signal d'entrée ][nx et ][ny le signal de sortie, et qui est défini par l'équation récurrente suivante : ]1[][]2[]1[][ 102 ?+=?+?+ nxbnxbnyanyny a) Trouver l'expression de cette équation par la transformée en Z. ( ) ( )110221 ][1][ ??? +=++ zbbzXzazzY En déduire le schéma bloc du système, en utilisant les opérateurs : b) Trouver l'expression de la fonction de transfert du filtre )(zH ( ) ( )( )21 2 2 2 1 2 0 2 2 1 1 10 1 )( pzpz zzz azz zbzb zaz zbb zH ?? ? = ++ + = ++ + = ?? ? c) Trouver les zéros et les pôles du système. Tracer le lieu des zéros et des pôles dans le plan complexe (les pôles en fonction de la valeur du coefficient 2a ).
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Signaux & Systèmes - M1 Physique - UJF - H. Mayaffre - 2007-2008 Electronique, signaux et systèmes Travaux dirigés : feuille n°4 Systèmes numériques et transformée en Z Corrigé 1. Soit un filtre discret linéaire dont on note le signal d'entrée ][nx et ][ny le signal de sortie, et qui est défini par l'équation récurrente suivante : ]1[][]2[]1[][ 102 ?+=?+?+ nxbnxbnyanyny a) Trouver l'expression de cette équation par la transformée en Z. ( ) ( )110221 ][1][ ??? +=++ zbbzXzazzY En déduire le schéma bloc du système, en utilisant les opérateurs : b) Trouver l'expression de la fonction de transfert du filtre )(zH ( ) ( )( )21 2 2 2 1 2 0 2 2 1 1 10 1 )( pzpz zzz azz zbzb zaz zbb zH ?? ? = ++ + = ++ + = ?? ? c) Trouver les zéros et les pôles du système. Tracer le lieu des zéros et des pôles dans le plan complexe (les pôles en fonction de la valeur du coefficient 2a ).
- dénominateur du gain complexe
- zéros du système
- représentation dans le plan en z
- réponse impulsionnelle
- systèmes travaux dirigés
- réponse en fréquence du filtre
- filtre
- filtre discret
Electronique, signaux et systèmes Travaux dirigés : feuille n°4 Systèmes numériques et transformée en Z Corrigé 1. Soit un filtre discret linéaire dont on note le signal d’entrée x [ n ] et y [ n ] le signal de sortie, et qui est défini par l’équation récurrente suivante : y [ n ] # y [ n % 1] # a 2 y [ n % 2] 1 b 0 x [ n ] # b 1 x [ n % 1] a) Trouver l’expression de cette équation par la transformée en Z. Y [ z ] 1 # z % 1 # a 2 z % 2 1 X [ z ] b 0 # b 1 z % 1 En déduire le schéma bloc du système, en utilisant les opérateurs : x n-1 x[n] z -1 b b S S S y[n] a 1 - n-2 -1 z n-1 b) Trouver l’expression de la fonction de transfert du filtre H ( z ) 0 # 1 % 102 # b 1 z z z % z 2 ! H ( z ) 1 1 # bz % 1 # baz 2 z % 2 1 zb 2 z # z # a 2 1( z % p 1 !( z % p 2 ! c) Trouver les zéros et les pôles du système. Tracer le lieu des zéros et des pôles dans le plan complexe (les pôles en fonction de la valeur du coefficient a 2 ). z 1 1 0 et z 2 1 % b 1 b 0 % 1 ± 1 % 4 a 2 1 p 1,2 2 Signaux & Systèmes - M1 Physique - UJF - H. Mayaffre - 2007-2008
2.5 2 1.5 1 Imag Axis 0.5 p 1 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -2
z 2 z 1
-1 0 Real Axis
p 2
1 2
d) Pour évaluer le gain complexe du filtre aux fréquences f 1 k / L , k Î 0,..., L % 1 Υ , on substitue par exp(2 jk / L ) . Que peut on dire du numérateur et du dénominateur du gain complexe H e 2 ϑ j k / L ? 2 / TFD b b ex H ( p(2 ϑ jk / L )) 1 a 0 # a 1 eb % 02 # ϑ j b k 1/ e L % # ϑ a j k 2 e L % 2 ϑ j 2 k / L 1 TFD Σ a 0 , 0 a , 1 , 1 a Υ 2 Υ z 1 % z 2. On considère un filtre de fonction de transfert H 0 ( z ) 1 F 0 ( z ) G ( z ) où F 0 ( ) 1 1 % 1 et G ( z ) 1 1 % z % M . Le filtre H 0 ( z ) est appelé filtre peigne (comb) de facteur de décimation M . a) Déterminer pour H 0 ( z ) la position des pôles et des zéros, sa réponse en fréquence et sa réponse impulsionnelle. b) Quel est le type de filtre ainsi réalisé ? c) En s’inspirant des résultats des questions précédentes, construire à partir de G ( z ) un filtre passe bande. 0 ( ) ( ) ( ) 1 %% M 1 # % # % # ... # % % H z 1 F 0 z G z 1 1 % z 1 1 z 1 z 2 z ( M 1 !
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x[n] S -1 -1 -1 -1 -S y[n] -1 z
La réponse impulsionnelle s’écrit donc : h [ n ] 1 1 pour n Î 1,..., ( M % 1) Υ et 0 sinon. C’est un filtre à réponse impulsionnelle finie RIF. On note que G ( z ) 1 1 % z % M possède M zéros situés sur le cercle unité en w m 1 exp(2 j ϑ m / M ) ou m Î 0,...., ( M % 1) Υ . Comme F 0 ( z ) 1 11 % 1 possède un pôle en 1 qui annule le premier zéro de G(z). H 0 ( z ) possède ( M 1) zéros en exp(2 j ϑ m / M ) ou m Î 1,...., ( M % 1) Υ et aucun pôles. La réponse en fréquence du filtre H 0 ( z ) est (figure a). Elle a un lobe principal de largeur 2/M autour de 0. Ce filtre peut-être utilisé comme un filtre passe-bas. Question 2 Realisation d’un filtre passe bande : Dans la question précédente, la fonction F 0 ( z ) avait été choisie de façon a ce que son pôle annule le zéro de G ( z ) en 1 . Il suffit par conséquent, pour réaliser un filtre passe bande autour de la fréquence m/M de mettre devant le filtre G ( z ) , le filtre de fonction de transfert : 1 F m ( z ) 1 1 % w m z % 1 11 % w * m z % 1 1 1 % 2 cos(2 ϑ m / M ) z % 1 # z % 2 ce qui donne pour H m ( z ) 1 F m ( z ) G ( z ) la réponse fréquentielle de la figure b (pour M=16 et m = 3). 0 Figure a -5 -10 -15 -2-00 .5 0 Figure b 5 --10 -15 -2-00 5 .
0
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0.5
0.5
On considère un filtre linéaire en temps discret dont la fonction de transfert dans la re résentation en Z est :
où f e est la fréquence d'échantillonnage et f c est une fréquence caractéristique comprise entre 0 et f e /2. R est un réel compris entre 0 et 1. La constante K s'exprime par la relation suivante:
1 Exprimez l'équation de récurrence permettant de calculer y[n] à partir des échantillons x[n], x[n-1] ... et y[n-1], y[n-2] ...
2 Représentez le schéma fonctionnel de ce filtre avec les symboles conventionnels suivants
3 Déterminez les pôles et les zéros du système.
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Que se passe t'il si R prend des valeurs supérieures à 1 ?
Pour les questions suivantes (5,6,7 et 8), on prendra les valeurs fixes suivantes : f c = f e /4 et R = 1/ 2 . 5 Avec ces valeurs, que deviennent les pôles et les zéros du système. Faites en une représentation dans le plan en Z.
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6 Réponse impulsionnelle : calculez les premières valeurs de la réponse impulsionnelle de ce filtre. Essayez d'obtenir une expression générale pour ces valeurs.
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7 En utilisant le résultat précédent, pouvez vous dire si ce filtre est à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou infinie (RII) ?
8 Analyse fréquentielle : remplacer z par exp{i2 ϑ f/ f e } et calculer le module de la fonction de transfert pour des fréquences f=0, f=f e /6, f=f c =f e /4, f=f e /3 et f=f e /2. En vous aidant de ces résultats et du placement des zéros et des pôles, essayez de déduire la forme approximative de la réponse fréquentielle du système et donnez en une représentation a roximative.
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9 Confirmez vous qu'il s'agit bien d'un filtre coupe-bande ?
10 Quel rôle oue le paramètre f c dans la réponse fréquentielle ? Et le paramètre R ?
11 Comment transformer ce filtre coupe-bande en un filtre passe-bande ?
On considère un filtre linéaire en temps discret dont la fonction de transfert, F(z), s'exprime en fonction d'une autre fonction de transfert A(z) de la façon suivante : F(z)=(1+A(z))/2 avec :
et où a 1 et a 2 sont deux coefficients réels dont les valeurs sont : a 1 =-2/3 et a 2 =1/3.
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On appelera x[n] les échantillons d'entrée et y[n] ceux de la sortie du système. On normalisera les fréquences à la demi-fréquence d'échantillonnage f e /2. 1 Ex rimez F z la fonction de transfert totale de ce filtre.
2 Exprimez l'équation de récurrence permettant de calculer y[n] à partir des échantillons x[n], x[n-1] ... et y[n-1], y[n-2] ...
3 Re résentez le schéma fonctionnel de ce filtre avec les symboles conventionnels suivants
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Déterminez les pôles et les zéros de la fonction de transfert A(z).
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5 Placez les dans le plan en Z (plan complexe des valeurs de z).
6 La fonction de transfert A z constitue elle un s stème stable et our uoi ?
7 Déterminez les pôles et les zéros du système complet F(z).
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