SESSION PCM1002
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
SESSION 2011 PCM1002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ C O N C O U R S C O MM U N S P O LY T E C H N I Q U E S Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont independantes.
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- redaction
SESSION 2011 PCM1002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ C O N C O U R S C O MM U N S P O LY T E C H N I Q U E S Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont independantes.
- produit scalaire
- matrice associee
- unique couple de reels
- meme ordonnee
- reel de dimension infinie
SESSION 2011
C O N C O U R SC O M M U N SP O L Y T E C H N I Q U E S
PCM1002
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC____________________
MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites LespartiesI,IIetIIIsontinde´pendantes. tinfisnoionsetd´eNotati 2 SoitPRorm´thonerudteeuqroere`peaialscitninocarelupiddurolaepunnmRO,i,j avecO0,0 ,i1,0 etj0,aairecanoniqueseraee´orputiudlacs.L1oranasmeciso 2 2 2 note´esibienquepourtoutx, yR,xiyjx y. 2 2 Pouraetbfinitnd´ees,ono´nledsrxe´dueDa,bndiosane´’dtauqrdaletioR:y axb. SiMPeesoodrno´npauocrx, ydansR, on notepa,bMl’unique point deDa,bayant, dansRemmˆbseala,ssicexqueM. Onde´finitaussiDladnsdaitnoqeaude´’ortiR:bx ay, etp Ml’unique point de a,b a,b Dayant, dansRe,lamˆemeordonn´eyqueM. a,b ´ PARTIE I :DROITES DES MOINDRES CARRES DANS UN CAS PARTICULIER SoientA,BetCles trois points dePes´ensdaeosrtclononndodRsont respectivement : 1 0,00 ,,1 etα,ou`αisnguernde´.ulnnnoel´e 2 2 2 tacilppaxuedtinfi´endOionsf0etf1deRdansRen posant : pour touta, bR, 2 2 2 f0pa, ba,bpA Aa,bpB Ba,b,C C 2 2 2 2 2 2 f1a, bpa,.B pC CA Ap B b a,ba,b 2 2 2 1/6
I.1.Montrer queA,BetCs.tnapenosnge´asil 2 I.2. 1 2 2 I.2.a.Montrer quef0b ba, b1aα b. 2 2 2 1 11 I.2.b.irefiqreuV´ef0a, baα b2b. 2 22 2 I.2.c.itnoofcnlaueeqirdu´endEf0admet un minimum surRet que ce minimum est 1 atteintenununiquecoupledere´elsa, b0,eeeistpeo,nnodta´nt`alcaodrrroD0, 2 1 d’e´quationdansR:y. 2 I.3. I.3.a.edicetxpliioneress’expimrelrente´Df1a, ben fonction dea, betα. 2 a α1 2 2 2 I.3.b.Montrer quef1a, b3αb a. 2 32 3 2 I.3.c.End´eduqerialeucnofnoitf1admet un minimum surRet que ce minimum est atteintenununiquecoupleder´eels,note´a1, b1inrm.Oerad,`te´esrtonnolaeD1la droited’´equationdansR:x a1y b1. I.4.Montrer queD0etD1sont orthogonales et se coupent en un unique pointMPqui est l’isobarycentre deA, B, C.
´ ´´ PARTIE II :RESULTATS SUR UN ESPACE PREHILBERTIEN REEL SoitEuepacspnebeilehr´rne´treirne´leon`a0eduittFun sous-espace vectoriel de dimension finie deEle produit scalaire sur. On noteEtee.iriustacala`ecrpdossoci´eelanormea ´ II.1.dnoiee´datinfionDrlneF.rpaee´te´irpo´fiire´verationstnepron)uec(rnEno´dmeassnF etFlecaso`uleabalvne´gnee´ar.laDsnEest de dimension finie, que peut-on dire de plus? PourxE, on notepFxla projection orthogonale dexsurF. II.2.inueferqromtnDe´x z´erieureborneinftneeunnseatttiesteenbiceuqettefie´dtein zF uniquee´le´mentzdeFniefid´rpazpFx. Cetteborneinf´erieureestnote´edx, F. On a doncdx, FxpFx. 2 On dit qu’une applicationx,y xyFdeEdansRest unudtiusobdrno´n`eaproF siellev´erifieles4proprie´te´ssuivantes: i) xE, l’applicationyy xFruserieeforstunn´eameliE; 2 ii) x,yE,x yFy xF; iii) xE,yF,x yF0 ; iv) xF,yF,x yFx y. II.3. II.3.a.Montrer que six,y xyFan´e`rdonsuboorpntiudutseF, alors : 2 x,yE,x yFxpFx ypFy; 2 xE,x xFdx, F; xE,x xF0 ; xE,x xF0xF. II.3.b.bordonn´e`auninuqpeorudtiuserifi’iquxileeustre´VF. 2/6
On note alorsFobustiud`e´nnodraroepcFet pourxE, on posexFx xF. 2 II.4.Montrer que pour toutx,yE,x yFxFyF;uqa`elleconditionsurxet ypeut-on dire que :x yFxFyF? II.5. II.5.a.me´edentsixecnetu’dele´nMontrerl’Eno,et´u, tel queu1. On note alorsDVectueer´ndgerpaotcevetineelleiradroluetpDla projection orthogonale surD. II.5.b.otruturqfiepoueVri´exE,pDu ux x. Pourtout´ele´mentxE, on posemxx u,σxxD. 2 Pour tout couplex,yE, on pose covx,yy xD. II.5.c.Montrer queσxxmxuet que covx,y xymxmy. On suppose dans la suite de cette partie quexetye´em´xleEeettndselaflsquleamileutdons u,x,ysoit libre. II.6.Montrer queσxetσyuxr´eelssontdeneptsotitsirtcmes.if xmxu ymyucovx,y On pose alorsx,yetρ. σxσyσxσy II.7. II.7.a.Montrer quemx0, queσx1 et queρ1,1 . II.7.b.V´eolarefiireuqsru,xest une base orthonormale deFVectu,x. II.7.c.infMontrer queyaxbubistd´enniefivaetuetdy, F. 2 a,bR ´ II.7.d.Etablir queinfyaxbu ymyu yx x. 2 a,bR II.7.e.euqrefiire´Vinfyaxbuσyyρx. 2 a,bR II.7.f.´Dtereedncfoontinemienr,x,yetudue’llp,uuqoicneslee´rea0, b0tel que : infyaxbu ya0xb0u. 2 a,bR Dans le planPinfietond´,D0cemmoate´lantoidrdotel’nte´uqtaoidnnasRest :y a0x b0. y myx mx II.8.Montrer queD0r´ouapsnadnoitauqeR:ρ. σyσx II.9.ununueiqexilteisee´rslpuocedelMqe’uˆmmereednorta1, b1tel que : infxaybu xa1yb1u. 2 a,bR Dans le planPo,dne´finitD1nsdauaeqontinode´’ltdalttiormme´etancoRest :x a1y b1. x mxy my II.10.Montrer queD1our´apsnadnoitauqeR:ρemclveaˆemer´eelρ σxσy d´efinipre´c´edemment.3/6
