Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral

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Niveau: Supérieur
2011/2012 Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral Exercices sur l'intégration. Changement de variables, intégration par parties, primitives... Exercice 1. Soit f : R ? R une fonction continue sur R et F (x) = ∫ x 0 f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes : 1. F est continue sur R. 2. F est dérivable sur R de dérivée f . 3. Si f est croissante sur R alors F est croissante sur R. 4. Si f est positive sur R alors F est positive sur R. 5. Si f est positive sur R alors F est croissante sur R. 6. Si f est T -périodique sur R alors F est T -périodique sur R. 7. Si f est paire alors F est impaire. Exercice 2. Calculer ∫ 1 0 ln(1 + x2) dx. Exercice 3. Calculer ∫ pi 0 dt 1 + cos2(t) en utilisant le changement de variable u = tan(t). (Si vous trouvez 0, il y a une erreur...) Exercice 4. Calculer les primitives suivantes (et donner les intervalles de définition) : ∫ dx x2 + 5 ; ∫ dx √ x2 ? 5 ; ∫ ex sin(ex)dx ; ∫ tan3 xdx ; ∫ 1 tan3 x dx ; ∫ 2x+ 3 (x2 + 3

tn dt

tan3 xdx

intervalles de validité des calculs

cosx

lim n?∞

dt √

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2011/2012 UniversitÉ Lyon I

Semestre de printemps Calcul diﬀÉrentiel et intÉgral Exercices sur l’intÉgration.

Changement de variables, intÉgration par parties, primitives... Z x Exercice 1.Soitf:R→Rune fonction continue surRetF(x) =f(t)dt. Rpondre par vrai ou 0 faux aux aﬃrmations suivantes : 1.Fest continue surR. 2.Fest drivable surRde drivef. 3. Sifest croissante surRalorsFest croissante surR. 4. Sifest positive surRalorsFest positive surR. 5. Sifest positive surRalorsFest croissante surR. 6. SifestT-priodique surRalorsFestT-priodique surR. 7. Sifest paire alorsFest impaire.

Z 1 2 Exercice 2.Calculerln(1 +x)dx. 0

Z π dt Exercice 3.utilisant le changement de variableCalculer en u= tan(t). 2 1 + cos (t) 0 (Si vous trouvez0, il y a une erreur...)

Exercice 4.Calculer les primitives suivantes (et donner les intervalles de dﬁnition) : Z Z Z Z dx dx x x3 ;√;esin(e)dx; tanxdx; 2 2 x+ 5x−5 Z Z Z Z 1 2x+ 3 lnxchx dx dx;dx, m∈N;dx;. 3 2m5 tanx(x+ 3x+ 7)xshx

Z ln 2 √ √ x x Exercice 5.En utilisant le changement de variablesu=e−1, calculerI=e−1dx. 0

Exercice 6.Calculer les primitives suivantes : Z Z lnx x ecosxdx;dx n∈N; n x

Z xarctan(x)dx;

Z 2x (x+x+ 1)e dx.

Exercice 7.Calculer les primitives suivantes, en prcisant si ncessaire l’intervalle de validit des calculs : Z Z Z Z 4 4 2 2 (cosxcos 2x+ sinxsin 3x)dx; cosxsinxdx; sinxdx; chxshxdx .

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