Resume de cours sur les coniques Lycee Brizeux PCSI B Annee
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Niveau: Supérieur
Resume de cours sur les coniques. Lycee Brizeux - PCSI B. Annee 2010-2011 22 novembre 2010 I Definition d'une conique en terme d'equation cartesienne On se place dans le repere orthonorme direct (0, ?? i , ?? j ). Definition 1 Une conique du plan euclidien R2 est une courbe du plan d'equation cartesienne de la forme a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0, ou a, b, c, d, e et f sont des nombres reels avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0). L'hypothese (a, b, c) 6= (0, 0, 0) est indispensable ici : le cas ou a, b et c sont nuls conduit a l'equation d'une droite. Definition 2 (Discriminant) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0. Le discrimant ∆ de C est par definition le nombre reel ∆ = a c? b2. Definition 3 (Type d'une conique) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0.
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Resume de cours sur les coniques. Lycee Brizeux - PCSI B. Annee 2010-2011 22 novembre 2010 I Definition d'une conique en terme d'equation cartesienne On se place dans le repere orthonorme direct (0, ?? i , ?? j ). Definition 1 Une conique du plan euclidien R2 est une courbe du plan d'equation cartesienne de la forme a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0, ou a, b, c, d, e et f sont des nombres reels avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0). L'hypothese (a, b, c) 6= (0, 0, 0) est indispensable ici : le cas ou a, b et c sont nuls conduit a l'equation d'une droite. Definition 2 (Discriminant) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0. Le discrimant ∆ de C est par definition le nombre reel ∆ = a c? b2. Definition 3 (Type d'une conique) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0.
- repere orthonorme
- valeurs de ?
- hyperbole
- parabole
- axe de symetrie
- directions des axes eventuels de symetrie
- quant au centre
- axe focal
- ellipse
- equation
Coniques.R´esume´
4 janvier 2010
ID´efinitiond’uneconiqueentermed’´equationcart´esienne ect ( − i → , −→ j ) . Onseplacedanslerep`ereorthonorme´dir0 , Definition 1 Une conique du plan euclidien R 2 estunecourbedupland’´equationcarte´siennedelaforme ´ a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , ou` a, b, c, d, e et f sontdesnombresre´elsavec ( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0) . L’hypothe`se( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0)estindispensableici:lecaso`u a, b et c sontnulsconduita`l’ e´quationd’une droite . De´finition2(Discriminant) Soit C uneconiqueduplaneuclidiend’e´quationcart´esienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . Le discrimant Δ de C estparde´finitionlenombrer´eel Δ = a c − b 2 . D´efinition3(Typed’uneconique) Soit C uneconiqueduplaneuclidiend’´equationcarte´sienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . On dit de C qu’elle est : 1. de type elliptique si a c − b 2 > 0 ; 2. de type parabolique si a c − b 2 = 0 ; 3. de type hyperbolique si a c − b 2 < 0 .
II R´ ction d’u ` ´ ´ edu ne conique : a la recherche de son equation reduite
1. Changement de R.O.N. direct Proprie´t´e1 Soit C uneconiqued’e´quation a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 − danslerepe`reorthonorme´direct R = ( O, −→ i , → j ) . Danslerepe`re R 0 = ( O, i −→ 0 , j −→ 0 ) , la conique C a alors pour equation ´ a 0 x 0 2 + 2 b 0 x 0 y 0 + c 0 y 0 2 + d 0 x 0 + e 0 y 0 + f 0 = 0 , ` ou − c a 0 = a +2 c + a cos(2 θ ) + b sin(2 θ ) 2 b 0 = b cos(2 θ ) − ( a − c )sin(22 θ ); a + c a − c c 0 = − 2 cos(2 θ ) − b sin(2 θ ) 2 1
Fig. 1–D´eterminationdesaxesdesym´etried’uneellipse
Remarque : 1. On peut bien entendu exprimer d 0 et e 0 `al’aidede d et e. Quanta` f 0 ileste´gala` f . 2.Onneretiendrapaslesexpressionsexprimerainsia`l’exceptiondecellede b 0 . − 3.Sil’oneffectueunetranslationdurepe`re ( O, − i → , j → ) , alorsl’´equationdelaconiquedanslerepe`reobtenu −→−→ ) s’e´crit: (Ω , i , j a 00 x 00 2 + 2 b 00 x 00 y 00 + c 00 y 00 2 + d 00 x 00 + e 00 y 00 + f 00 = 0 . De plus :
a 00 = a ; b 00 = b ; c 00 = c.
Changement de R.O.N. direct et discriminant Corollaire 1 Soit C une conique de discriminant Δ . Si C apoure´quation a 0 x 0 2 + 2 b 0 x 0 y 0 + c 0 y 0 2 + d 0 x 0 + e 0 y 0 + f 0 = 0 −→−→ dansunrepe`reorthonorme´direct (Ω , i 0 , j 0 ) , alors
a 0 c 0 b 0 = Δ . −
´ Eliminationdestermescrois´es L’expression de b 0 en fonction de θ donn´eeci-dessus(Proprie´t´e1)permet −→−→ d’ende´duireunrepe`reorthonorme´direct( O, i 0 , j 0 )danslequell’´equationde C nefaitpasapparaıˆtrede
2
termecrois´e x 0 y 0 . Ils’agitder´esoudrel’e´quationd’inconnue θ : b cos(2 θ ) − ( a − c )sin(22 θ ) = 0 . Letableauquisuitre´sumeleschoixde θ possible. Situation choix de θ Cas a = c. θ ∈ { π 4 , 34 π , 54 π } . Cas a 6 = c. θ =arctan a 22 − bc + k π avec k ∈ J 0 , 3 K Fig. 2 – Valeurs de θ pour lesquelles b 0 = 0 . k π ` Remarque : On pourra remarquer que les valeurs de θ sede´duisentlesunesdesautres`a 2 pres. Cecinedoitenriensurprendre.Unefoislesdirectionsdesaxese´ventuelsdesym´etrieobtenues,unerotation d’angle k 2 π suppl´ementairen’ychangerarien:lesaxesdurepe`reserontencoreparalle`lesauxaxesdesyme´trie e´ventuels. 2.Equationre´duited’uneconiquepropre −→−→ Nousnousplac¸onsdansunrep`ereorthonorm´edirect R 00 = ( O, i 00 , j 00 ) dans lequel la conique C a pour equation ´ a 00 x 00 2 + c 00 y 00 2 + d 00 x 00 + e 00 y 00 + f 00 = 0 . (1) Lerep`ere R 00 peutˆetreobtenuparunerotationdecentre O et d’angle θ (bien choisi) du rep` initial R (cf ere leparagraphepre´ce´dent). Ils’agitdesimplifierencoreplusl’´equationdelaconiqueenchangeantdenouveauderepe`reentranslatant epe e, a le r `re R 00 voire en faisant des rotations d’angle 2 π (ou π ). Ceci conduit, dans le cas d’une conique propr ` son ´equationre´duite .
Cas d’une conique de type elliptique Propri´ete´2 Soit C une conique de type elliptique. Alors : • soit C est vide ; • soit C estr´eduitea`unpoint; −→−→ • soit il existe un R.O.N. direct (Ω , i 0 , j 0 ) dans lequel C apoure´quation
x 0 2 y 0 2 = a 2 + b 2 1 avec 0 < b ≤ a.
(2)
De´finition4 Soit C une conique de type elliptique. −→−→ 1. s’il existe un R.O.N. direct R 0 = (Ω , i 0 , j 0 ) danslequell’´equationde C s’´ecritsouslaforme(2),alors on dit que C est une conique propre de type elliptique ;l’´equation(2)estl’ e´quationr´eduite de la conique ; Si a > b, alors C est une ellipse ; −→−→ 2. Dans le cas d’une ellipse C d’e´quationr´eduite(2)dansleR.O.N.direct (Ω , i 0 , j 0 ) : • Ω est le centre de l’ellipse ; • (Ω x 0 ) et (Ω y 0 ) sont les axes principaux del’ellipse(plusspe´cifiquement, (Ω x 0 ) est l’ axe focal de l’ellipse) ; • a (resp. 2 a ) est le demi-grand axe (resp. le grand axe ) de l’ellipse ; b (resp. 2 b ) est le demi-petit axe (resp. le petit axe ) de l’ellipse ; • lespointsdecoordonn´ees ( − a, 0) et ( a, 0) danslerep`ere R 0 sont les sommets de l’ellipse C .
3
Remarque : 1.Lesaxesprincipauxd’uneellipsesontlesaxesdesyme´trie.Quantaucentre,ils’agitducentredesyme´trie de l’ellipse ; 2. Les sommets d’une ellipse sont les points d’intersection de l’ellipse avec l’axe focal ; 0 3. Si C apourequationr´eduite xa 22 + ya 0 22 = 1 danslerepe`re (Ω , i −→ 0 , j −→ 0 ) , alors il s’agit du cercle de centre Ω ´ et de rayon a.
Cas d’une conique de type parabolique Propri´ete´3 Soit C une conique de type parabolique. Alors : • soit C est vide ; • soit C estunedroiteouunere´uniondedroitesparall`eles; −→−→ • soit il existe un R.O.N. direct ( S, i 0 , j 0 ) dans lequel C apour´equation
2 p x 0 = y 0 2 avec p > 0 .
(3)
De´finition5 Soit C une conique de type parabolique. −→−→ 1. s’il existe un R.O.N. direct R 0 = ( S, i 0 , j 0 ) danslequell’e´quationde C s’´ecritsouslaforme(3),alors on dit que C est une parabole (oudemani`ereplusdiserte:uneconiquepropredetypeparabolique); l’´equation(3)estl’ e´quationre´duite de la parabole ; −→−→ 2. si C estuneparaboled’e´quationre´duite(3)dansleR.O.N.direct ( S, i 0 , j 0 ) : • S est le sommet de C ; • ( S x 0 ) et ( S y 0 ) sont les axes principaux delaparabole(plussp´ecifiquement, ( S x 0 ) est l’ axe focal de la parabole) ; • p est le parame`tre de la parabole. Remarque : 1.L’axefocald’uneparaboleestl’axedesym´etrie(l’autreaxen’e´tantpasunaxedesyme´trie); 2. Le sommet de la parabole est le point d’intersection de la parabole avec l’axe focal.
Cas d’une conique de type hyperbolique Propri´ete´4 Soit C une conique de type hyperbolique. Alors : • soit C estlare´uniondedeuxdroitesconcourantes; −→−→ • soit il existe un R.O.N. direct (Ω , i 0 , j 0 ) dans lequel C apoure´quation
x 0 2 y 0 2 − b 2 = 1 a 2 .
(4)
De´finition6 Soit C une conique de type hyperbolique. −→−→ 1. s’il existe un R.O.N. direct R 0 = (Ω , i 0 , j 0 ) danslequell’e´quationde C s’´ecritsouslaforme(4),alorson dit que C est une hyperbole (oudemani`ereplusdiserte:uneconiquepropredetypehyperbolique); l’e´quation(4)estl’ ´equationre´duite de l’hyperbole ; −→−→ 2. Si C estunehyperboled’e´quationre´duite(2)dansleR.O.N.direct (Ω , i 0 , j 0 ) : • Ω est le centre de l’hyperbole ; • (Ω x 0 ) et (Ω y 0 ) sont les axes principaux del’hyperbole(plussp´ecifiquement, (Ω x 0 ) est l’ axe focal de l’hyperbole) ; • les points de coordon ´ ( , 0) et ( a, 0) danslerep`ere R 0 sont les sommets de l’hyperbole C . nees − a Remarque :
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