Responsables de PC et de projets S CANTOURNET L CORTE J L DEQUIEDT

MINESParisTech
ère1 année
MÉCANIQUE
DES
MATÉRIAUX
SOLIDES
Notesdecours
G.CAILLETAUD
ResponsablesdePCetdeprojets
S.CANTOURNET,L.CORTE,J.L.DEQUIEDT
S.FOREST,A.GAUBERT,S.JOANNES,M.MAZIERE
H.PROUDHON,D.RYCKELYNCK,M.TIJANI
Mars2012iiTabledesmatières
I COURS xi
1 Introduction 1
1.1 Généralitéssurlespropriétésdesmatériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Domainesd’utilisationdesmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lestypesdemodèlesdematériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Lesessaismécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Différentstypesd’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Moyensdemesure,ordresdegrandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Miseenœuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Rhéologie 11
2.1 Lesdifférentstypesde«déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Lessourcesde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Dilatationthermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Lesbriquesdebaseducomportementnonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Plasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Modèleélastique–parfaitementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2dePrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Écrituregénéraledeséquationsdel’élastoplasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . 15
2.4 Viscoélasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Unexempledemodèlerhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Étuded’unmodèlecomposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Viscoplasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Unexempledemodèlerhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Quelquesmodèlesclassiquesenviscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Influencedelatempérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Critères 23
3.1 Lesoutilsdisponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Critèresnefaisantpasintervenirlapressionhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 CritèredevonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2deTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 ComparaisondescritèresdeTrescaetvonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Critèresfaisantintervenirlapressionhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 CritèredeDrucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2 LecritèredeMohr–Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.3 CritèredeRankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.4 Critères«fermés» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Critèresanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iiiiv TABLEDESMATIÈRES
4 Plasticitéetviscoplasticité3D 33
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Décompositiondeladéformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Loisd’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Formulationdesloisdecomportementviscoplastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Écrituregénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Delaviscoplasticitéàlaplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Formulationdesloisdecomportementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Principedutravailmaximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 InterprétationgéométriqueduprincipedeHill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Directionsd’écoulementassociéesauxcritèrescourants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1 CritèredevonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.2deTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.3 CritèredeDrucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Comportementparfaitementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Viscoplasticité/plasticiténonassociée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Variablesd’écrouissage 43
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Matériauxstandardsgénéralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Unebrèveprésentationduformalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Expressiondequelquesloisparticulièresenplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 LoidePrandtl–Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 LoideHencky–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 LoidePrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Écoulementàvitessededéformationtotaleimposée . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Elémentsdethéoriedespoutresplanes 51
6.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Modélisationgéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 PrincipedeSaint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3desactionsmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 SolutiondeSaint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Approcheparleprincipedestravauxvirtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.1 Rappel:leprincipedestravauxvirtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.2 CinématiquedelapoutredeTimoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.3 Traitementdeséquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.4 Caractérisationdel’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.5 Loisdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Poutresandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.1 Evaluationdeseffortsintérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.2 Formegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64TABLEDESMATIÈRES v
6.5 Flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5.1 Formegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5.2 Poutresimplementsupportée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5.3 Autresconditionsauxlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Matériauxcomposites,stratifiés 69
7.1 Généralitéssurlesmatériauxcomposites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Rappel:milieuxélastiquesanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.1 NotationdeVoigtpourlesrelationsdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.2 Respectdessymétriesmatérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3 Compositesunidirectionnelsàfibreslongues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.1 Loidemélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.2 Constantesélastiquesdansunrepèrequelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3.3 Théoriedesstratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7