Relaxation cinetique vers les lois de conservation scalaire

Relaxation cin´etique vers les lois de conservation
scalaire
Thomas Migliore
24 octobre 2006
M´emoire de Master II de Math´ematiques
1Directeur de stage : F. Berthelin Ann´ee 2005-2006
1Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonn´e, UMR 6621 CNRS, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Parc
valrose, 06108 Nice Cedex 02 - bertheli@math.unice.fr
1Remerciements
Je remercie F. Berthelin de m’avoir dirig´e au cours de ce premier travail de recherches.
D’un caract`ere toujours agr´eable, il a manifest´e a` mon ´egard une grande disponibilit´e du-
rant ce stage, t´emoignant beaucoup de patience et faisant preuve de p´edagogie. Sa culture
etsonreculsurlesmath´ematiquesm’ont´et´etr`espr´ecieuxpourlar´edactiondecem´emoire.
Je remercie ´egalement J. Blum et P.E. Jabin d’assister `a mon oral de soutenance.
Je tiens ´egalement a` t´emoigner ma reconnaissance `a mon ami Michel Raibaut pour ses
remarques qui ont ´et´e tr`es constructives et ont contribu´e sans nul doute `a l’am´elioration
de ce papier.
2Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Existence de la solution cin´etique 5
3 Relaxation formelle et Maxwellienne modifi´ee 9
3.1 Limite formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Maxwellienne modifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Equations de transport et entropies de Kruˇzkov 12
5 Preuve du Th´eor`eme 20
0 15.1 Compacit´e de (ρ ) dans C ([0,T];L (K)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20ε ε>0
5.2 Convergence de f vers M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24ε ρ
5.3 Loi de conservation scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 In´egalit´es d’entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Annexe 32
6.1 R´esultats d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 A propos des entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Bibliographie 34
31 Introduction
Dans ce m´emoire, on ´etudie la relaxation du mod`ele cin´etique BGK impliquant un terme
en champ fort dans l’op´erateur de transport. Ceci nous menera aux lois de conservation
scalaire avec un flux perturb´e par rapport aux relaxations classiques. On verra alors ap-
paraˆıtre une Maxwellienne modifi´ee. Ce travail suit l’article [1] en rajoutant un terme
source dans l’´equation cin´etique ce qui rajoute un terme source modifi´e dans la loi scalaire
obtenue.
L’int´erˆet d’utiliser une m´ethode de relaxation est de faire disparaˆıtre le terme non lin´eaire
dans la partie d´eriv´ee du mod`ele. On peut le voir sur le cas ”acad´emique” de relaxation
ou` le syst`eme
∂u+∂ v = 0t x
F(u)−v∂v+λ∂ u =t x ε
va approcher ∂u+∂ F(u) = 0 car a` la limite (ε → 0) F(u) = v. Le terme non lin´eairet x
F(u)−v
∂ F(u) devient dans le syst`eme . Pour des g´en´eralit´es sur l’´etude math´ematique desx ε
probl`emes de relaxation hyperbolique, on peut citer par exemple [9], [10] et [16].
Hilbert,danssonsixi`emeprobl`emeintitul´e”Traitementmath´ematiquedesaxiomesdephy-
sique” (voir en annexe), sugg´erait d´ej`a, en citant notamment les travaux de Boltzmann, le
besoin de d´evelopper math´ematiquement de tels processus limites. L’effet de la relaxation
est en effet important dans de nombreuses situations physiques comme la th´eorie cin´etique
des gaz, la visco´elasticit´e avec perte de m´emoire, l’´etude des flux de gaz pr`es de l’´equilibre
thermodynamique, ...
Ondoit´egalementciterPerthame etTadmor [12]quionttrait´elecasou` laforceF (d´efinie
ci-dessous) est nulle.
Le mod`ele BGK ´etudi´e est le suivant
F χ −fρ ε D∂f +div(a(x,v)f )+ ∂ f = +R(t,x,v)f , (t,x,v)∈R×R ×R, (1.1)t ε ε v ε ε
ε ε
ou` χ est la Maxwellienne classique pour les lois de conservation scalaire

sgn(ρ) si (ρ−v)v≥ 0,
χ (v) =ρ 0 sinon
et la densit´e Z
ρ(t,x) = f(t,x,v)dv.
R
La fonction sgn est d´efini comme d’habitude sgn(u) = 1 pour u > 0, sgn(u) = −1 pour
D Du< 0 et sgn(u) = 0 pour u = 0. Le champ de vitesse a :R ×R→R et la force F ∈R
sont donn´es, ε∈]0,+∞[. On notera f pour f (t,x,v)∈R.ε ε
Le point important est que le terme F/ε dans (1.1) modifie la limite hydrodynamique
obtenue. En effet, dans le cas avec une force F = 0, la limite obtenue est
Z ρ
∂ρ+div A(x,ρ) = 0, A(x,ρ) = a(x,u)du (1.2)t x
0
ou`
DX
div A(x,ρ) = ∂ A (x,ρ),x x ii
i=1
4alors que dans le cas ou` F = 0, nous obtenons
∂ρ+div B(x,ρ) =T(t,x,ρ), (1.3)t x
avec
Z Zρ ∞
−uB(x,ρ) = a(x,v+Fu)e dvdu, (1.4)
0 0Z Zρ ∞
−uT(t,x,ρ) = R(t,x,v+Fu)e dvdu. (1.5)
0 0
1Dans la suite, on notera C (Ω) l’ensemble des fonctions r´eelles continues et born´ees uneb
fois diff´erentiable sur Ω ainsi que leurs d´eriv´ees premi`eres. Cet espace sera munit de la
2,1 D Dnorme kfk 1 = sup|f(x)|+sup|∂f(x)|. On d´efinit C (R ×R ) comme l’espace desC (Ω) bb
Ω Ω
fonctions continues born´ees qui sont deux fois continument diff´erentiable par rapport a` x
et une fois par rapport a`v avec d´eriv´ees born´ees. L’espace des mesures born´ees sur Ω sera
not´eM (Ω). L’ensemble BV(Ω) est l’ensemble des fonctions int´egrables dont les d´eriv´ees1
1,pdistributionappartiennenta`M (Ω).L’ensembleW (Ω)d´esignel’espacedeSobolevusuel.1
Le principal r´esultat de ce m´emoire est le suivant
2,11 D D ∞ DTh´eor`eme 1.1 Soientf ∈L (R×R ),F ∈R,a∈C (R ×R) etR(t,x,.)∈L (R ×I bR
1R;C (R)) v´erifiantR(t,x,0) = 0. Alorsρ = f dv, ou`f est la solution du mod`ele BGKε ε εb R
1(1.1) avec la donn´ee initialef (0,x,v) =f , converge versρ dansL ([0,T]×K) pourT > 0ε I
Det tout ensemble compact K ⊂R . La limite ρ est une solution faible de
Z
∂ρ(t,x)+div B(x,ρ) =T(t,x,ρ), ρ(0) =ρ = f dv, (1.6)t x I I
R
1avec B donn´ee par (1.4) et T par (1.5). La fonction distributionf →M dansL ([0,T]×ε ρ
K×R).
De plus, on a les relations entropiques de Kruˇzkov :
∀k∈R, ∂|ρ−k| + div ((B(x,ρ)−B(x,k)) sgn(ρ−k))+(div B)(x,k) sgn(ρ−k))t x x
≤ (T(t,x,ρ)−T(t,x,k)) sgn(ρ−k). (1.7)
2 Existence de la solution cin´etique
Dans cette section, on montre qu’il existe des solutions `a l’´equation cin´etique (1.1) avec la
possibilit´e que F(x) =F. Tout d’abord, on remarque que la Maxwellienne v´erifie
Z
0∀k,k ∈R, χ (v)dv = k, (2.1)k
RZ
0
0|χ (v)−χ (v)|dv = |k−k|, (2.2)k k
R Z
1 0∀B∈C (R), χ (v)B (v)dv = B(k)−B(0). (2.3)k
R
5
61 D 1 D ∞ D 1Th´eor`eme 2.1 Pour a ∈ C (R ×R), F ∈ C (R ) et R(t,x,.) ∈ L (R ×R;C (R))b b b
v´erifiant R(t,x,0) = 0, l’´equation cin´etique (1.1) avec la condition initiale
1 D ∞ 1 Df(0) =f ∈L (R ×R) est bien pos´e dans L ([0,T];L (R ×R)).I
Preuve
On va ramener le probl`eme d’existence de la solution cin´etique a` un probl`eme de point
fixe. Pour cela, on r´e´ecrit (1.1) sous la forme

F(x) χ −fρ
∂f +div a(x,v), .f = +R(t,x,v).f. (2.4)t x,v
ε ε
Ainsi, on est en mesure d’introduire les caract´eristiques associ´ees a` (2.4) (cf. [2])

dX (s,x,v) = a(X(s,x,v),V(s,x,v)), ds
dV F(X(s,x,v))
(s,x,v) = , ds ε
X(t,x,v) =x , V(t,x,v) =v,
ainsi que le jacobien du changement de variables (x,v) 7−→ (X(s,x,v),V(s,x,v)) donn´e
par J(s,x,v)> 0 et v´erifiant
(
dJ
(s,x,v) = J(s,x,v) div a(X(s,x,v),V(s,x,v)),x
ds
J(t,x,v) = 1.
On voit que :
Z t
J(0,x,v) = exp − div a(X(s,x,v),V(s,x,v))ds . (2.5)x
0
L’´equation (1.1) multipli´ee par J(s,X(s),V(s)) se r´e´ecrit donc sous la forme
d 1
[f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))] + ( −R(s,X(s),V(s)))f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))
ds ε
χρ
= (s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s)).
ε
On cherche alors une fonction G(s) tq
d χρG(s) G(s)f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))e = (s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))e
ds ε
avec G(0) = 0, i.e.
10G(s) = −R(s,X(s),V(s))
ε
Z t 1
G(t) = G(0)+ −R(s,X(s),V(s))ds
ε0Z
tt
= − R(s,X(s),V(s))ds.
ε 0
6D’ou`
Z
t1G(t) G(τ)f(t,X(t),V(t))e = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτρ
ε 0
Z t1−G(t) G(τ)−G(t)f(t,x,v) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))e + χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ.ρ
ε 0
On va montrer que la solution f de (1.1) peut ˆetre obtenu comme limite de la suite
f (t) = f(0)0 Z
ρ (t) = f (t)dvn n
R
−G(t)f (t) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))en+1
Z t1 (G(τ)−G(t))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ.ρnε 0
Pour cela, on va prouver que l’application
−G(t)Φ(f) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))e
Z t1
(G(τ)−G(t))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ (2.6)ρ
ε 0
est lipschitzienne. En fait, nous allons voir que c’est insuffisant `a cause du terme source.
On aura donc besoin de montrer qu’une it´er´ee de Φ est contractante.
Prenons deux solutions de (1.1), not´ees