Rappel les principales propriétés des séries nancières L approche ARCH GARCH et la modélisation de la volatilité

Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires
Estimation et PrØvision
Partie 2. ModŁles GARCH
ModŁles GARCH univariØs
Christophe Hurlin, UniversitØ d OrlØans, Laboratoire
d Economie d?OrlØans (UMR CNRS 6221)
Master EconomØtrie et Statistique AppliquØe (ESA), UniversitØ d?OrlØans
Septembre 2008
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
Section 1. Les principales propriØtØs des sØries
?nanciŁres
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
Les sØries de prix d?actif et de rendements prØsentent gØnØralement
un certain nombre de propriØtØs similaires suivant leur pØriodicitØ.
Soit p le prix d?un actif ? la date t et r le logarithme dut t
rendement correspondant:
r = log(p ) log(p ) = log(1+R )t t t 1 t
oø R = (p p ) /p dØsigne la variation relative des prix.t t t 1 t
Example
ConsidØrons ? titre d exemple l?indice Standard & Poor observØ en
cl ture sur la pØriode du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le
rendement quotidien associØ
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
Figure: Indice SP500 : 03/07/1989 au 24/11/2003
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
Figure: Rendement SP500 : 03/07/1989 au 24/11/2003
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PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
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ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
Charpentier (2002) distingue ainsi 8 principales propriØtØs :
PropriØtØ 1 (StationnaritØ) Les processus stochastiques pt
associØs aux prix d actif sont gØnØralement non
stationnaires au sens de la stationnaritØ du second
ordre, tandis que les processus associØs aux
rendements sont compatibles avec la propriØtØ de
stationnaritØ au second ordre.
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
Rappelons au passage les dØ nitions de la stationnaritØ forte et de
la stationnaritØ faible (ou stationnaritØ du second ordre). Soit un
processus temporel alØatoire (x , t 2Z).t
De nition
Le processus x est dit strictement ou fortement stationnaire si 8t
le n-uplet du temps t < t < ..< t , tel que t 2Z et pour tout1 2 n i
temps h2Z avec t +h2Z,8i, i = 1,..,n, la suitei
(x ,..,x ) ? la mŒme loi de probabilitØ que la suitet +h t +h1 n
(x ,..,x ).t t1 n
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
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L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
De nition
Un processus (x , t 2Z) est dit stationnaire au second ordre, out
stationnaire au sens faible, ou stationnaire d?ordre deux si les trois
conditions suivantes sont satisfaites :
2(i) 8t 2Z, E x <∞t
(ii) 8t 2Z,E(x ) = m, indØpendant de tt
(iii)
28(t,h)2Z ,cov (x ,x ) =E[(x m)(x m)] = γ(h),t t+h t+h t
indØpendant de t
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
PropriØtØ 7 : SaisonnalitØ
PropriØtØ 8 : AsymØtries
PropriØtØs des sØries ?nanciŁres

2La premiŁre conditionE x <∞ garantit existel nce (ou lat
convergence) des moments d ordre deux.
La seconde conditionE(x ) = m,8t 2Z porte sur let
moment d?ordre un et signi e tout simplement que espl Ørance
du processus x doit Œtre indØpendante du temps.t
La troisiŁme condition porte sur les moments d ordre deux
rØsumØs par la fonction d autocovariance γ(h) : la fonction
d autocovariance du processus x doit Œtre indØpendante dut
temps et ne doit dØpendre que ol rdre des retards h . Cela
implique en particulier que la variance γ(0) du processus xt
doit Œtre constante au cours du temps.
Christophe Hurlin ModŁles GARCHPropriØtØ 1 : StationnaritØ
PropriØtØ 2 : AutocorrØlation des carrØs
Rappel : les principales propriØtØs des sØries ?nanciŁres PropriØtØ 3 : Distribution leptokurtique
L?approche ARCH / GARCH et la modØlisation de la volatilitØ PropriØtØ 4 : Clusters de volatilitØ
ModŁles ARCH / GARCH linØaires PropriØtØ 5 : Distribution conditionnelle leptokurtique
Estimation et PrØvision PropriØtØ 6 : E⁄et de levier
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PropriØtØs des sØries ?nanciŁres
PropriØtØ 2 (AutocorrØlations des carrØs des variations de prix)
2La sØrie r associØe aux carrØs des rendementst
prØsente g