PROPERADES EN ALGEBRE TOPOLOGIE GEOMETRIE ET PHYSIQUE
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Français
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2009
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01 juin 2009
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Français
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Niveau: Supérieur
PROPERADES EN ALGEBRE, TOPOLOGIE, GEOMETRIE ET PHYSIQUE MATHEMATIQUE BRUNO VALLETTE Memoire d'habilitation a diriger des recherches Universite de Nice Sophia-Antipolis Laboratoire J.-A. Dieudonne Specialite : Mathematiques Soutenance : 11 Juin 2009 Rapporteurs : M. Clemens BERGER M. Bernhard KELLER M. Yuri Ivanovich MANIN Membres du Jury : M. Clemens BERGER M. Bernhard KELLER M. Jean-Louis LODAY M. Ieke MOERDIJK (President du jury) M. Carlos SIMPSON M. Boris TSYGAN
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PROPERADES EN ALGEBRE, TOPOLOGIE, GEOMETRIE ET PHYSIQUE MATHEMATIQUE BRUNO VALLETTE Memoire d'habilitation a diriger des recherches Universite de Nice Sophia-Antipolis Laboratoire J.-A. Dieudonne Specialite : Mathematiques Soutenance : 11 Juin 2009 Rapporteurs : M. Clemens BERGER M. Bernhard KELLER M. Yuri Ivanovich MANIN Membres du Jury : M. Clemens BERGER M. Bernhard KELLER M. Jean-Louis LODAY M. Ieke MOERDIJK (President du jury) M. Carlos SIMPSON M. Boris TSYGAN
- nom de principe de reconnaissance
- algebre
- homotopies superieures
- categorie d'algebres
- homotopies superieures pour la commutativite du produit sur les cochaınes singulieres
- theorie algebrique permettant de gerer
- algebres associatives
- topologie algebrique
- infinite denombrable d'homotopies pour definir
Mémoire Scientifique présenté à L’Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis
Par M.David DEREUDRE
Pour l’obtention de
L’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
Etudes de quelques processus ponctuels gibbsiens en mécanique statistique, géométrie aléatoire et statistique spatiale
Soutenue le 25 novembre 2010
Rapporteurs : Patrick CattiauxProfesseur à l’Université de Toulouse Dominique JeulinDirecteur de Recherche et Professeur à l’Ecole des mines de Paris Jesper MøllerProfesseur à l’Université de Aalborg Examinateurs : Adrian BaddeleyProfesseur à l’Université de Western Australia Youri DavidovProfesseur à l’Université Lille 1 Hans-Otto GeorgiiProfesseur à l’Université de Munich Serge NicaiseProfesseur à l’Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis Sylvie RœllyProfesseur à l’Université de Potsdam
Remerciements
Je remercie tout d’abord ma directrice de thèse Sylvie Rœlly qui m’a initié à la recherche en mathématiques et plus particulièrement à la mécanique statistique que je continue, année après année, à découvrir avec émerveillement. Sa présence dans ce jury me tient particulièrement à cœur. Patrick Cattiaux, Dominique Jeulin et Jesper Møller m’ont fait l’honneur de rapporter ce mémoire. Je leur suis très reconnaissant pour le temps et le soin qu’ils y ont mis. J’ai eu l’opportunité de collaborer avec Hans-Otto Georgii auprès duquel j’ai énormé-ment progressé, aussi bien sur mes connaissances mathématiques que sur ma méthode de recherche. Je le remercie profondément pour ces fructueuses collaborations. Sa présence dans le jury est un grand honneur pour moi. Je remercie Adrian Baddeley et Youri Davidov d’avoir examiné ce mémoire. Leurs encouragements et bons conseils m’ont beaucoup aidé au cours de mon projet scientifique. La présence de Serge Nicaise dans le jury me fait très plaisir. Il est le directeur du la-boratoire depuis mon arrivée à Valenciennes et j’ai toujours ressenti son aide et ses encou-ragements pour les projets que j’entreprenais. Je le remercie aussi pour son enthousiasme communicatif. Je remercie mes coauteurs, Adrian Baddeley, Jean-François Coeurjolly, Remy Drouil-het, Hans-Otto Georgii, Frédéric Lavancier, Sylvie Rœlly pour avoir partagé nos connais-sances et des heures de calcul, bricolage mathématique, coups de génie et déceptions bien sûr... J’espère que nous continuerons encore longtemps. Je remercie Hans Zessin de m’avoir initié à la géométrie aléatoire gibbsienne. Il m’a apporté une thématique qui me réjouit par sa beauté, sa profondeur, sa difficulté et l’im-mensité de son champ d’application. Je remercie mes collègues du Lamav pour leur bonne humeur et les nombreuses pauses café indispensables physiquement et psychologiquement. Je remercie en particulier mes deux co-bureaux Emmanuel et Nathalie pour leur très agréable compagnie. Mes derniers remerciements vont à ma famille et mes amis pour leur soutien, affection et joie de vivre. Merci à Julie pour avoir supporté mes humeurs inégales au cours de la préparation de cette HDR.
Table des matières
Introduction 6 Publications 10 1 Processus ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique 11 1.1 Définition du modèle gibbsien avec interaction géométrique . . . . . . . . . 12 1.1.1 Interaction de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Théorèmes d’existence de mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Les théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Les outils des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Quelques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Le modèle d’interaction par paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Le modèle d’interaction aux plus proches voisins . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Un modèle de triangulations sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.5 Un modèle de cellules de Voronoï en interaction . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Quelques propriétés des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Un principe variationnel pour les interactions aux plus proches voisins 28 1.4.2 Percolation dans le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Quelques équations d’équilibre gibbsiennes et estimateurs paramétriques associés. 31 2.1 Autour de l’équation De Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Equation de Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Estimateur généralisé de la pseudo vraisemblance . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Estimateur de Takacs Fiksel et son application au modèle Quermass 36 2.2 Equations Variationnelles sous la mesure de Palm . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Equation variationnelle pourX=Rd 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Equation variationnelle pourX=Rd× C0([0,1],Rd) 41. . . . . . . . . 2.2.3 Estimateur variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Quelques propriétés des dynamiques browniennes 47 3.1 Dynamiques browniennes avec dérives et mesures de Gibbs trajectorielles . . 48 3.1.1 Dynamiques browniennes de type gradient . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2 Les dynamiques browniennes de type gradient sont des mesures de Gibbs trajectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3 Représentation des mesures de Gibbs trajectorielles générales . . . . 51
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3.2
3.3
3.1.4 Applications au retournement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation de gibbsiannité pour les dynamiques browniennes indexées par d Z. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propagation de gibbsiannité à temps court . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propagation de gibbsiannité pour de petites interactions dynamiques Quelques perspectives sur les dynamiques infini-dimensionnelles avec inter-action de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 53 54 56 58
Introduction
Le thème de recherche de ce mémoire concerne l’étude de processus ponctuels marqués et de quelques applications en mécanique statistique, géométrie aléatoire, statistique spa-tiale. Rappelons tout d’abord qu’un processus ponctuel marqué est une collection aléatoire de points localement finie dans l’espace telle que, à chaque point, il est associé une marque également aléatoire. Le champ d’application de ces processus est immense, donnons juste quelques exemples qui nous intéresseront dans la suite de ce mémoire. Originellement ils ont été introduits en physique pour représenter des systèmes de par-ticules dans un gaz, un fluide, etc. Les points représentent alors la position des particules et les marques désignent une caractéristique des particules (la vitesse, la charge, le type, etc.). Toujours dans le domaine de la mécanique statistique, la marque peut être une fonc-tion continue indiquant la trajectoire de la particule. Les points désignent alors la position des particules au temps initial et les marques leur évolution. En géométrie aléatoire, les convexes fermés sont d’autres types de marques envisagés. En considérant l’union de ces marques centrées aux points du processus, on obtient une surface (ou un volume) aléatoire modélisant des interfaces, des microémulsions, etc. Il existe également de nombreuses mo-saïques construites à partir d’un processus ponctuel (mosaïques de Voronoï, de Delaunay, etc.). Le processus ponctuel de référence pour ces modèles est le processus de Poisson. Il distribue les points dans l’espace de telle sorte que la loi du nombre de points dans un do-maine donné suit une loi de Poisson de paramètre le volume du domaine (pour une mesure de référence) et, sachant le nombre de points dans un domaine, les points sont indépen-damment distribués selon la mesure de référence. Les marques sont également distribuées de façon indépendante. On obtient ainsi toute une collection de modèles aléatoires. Pour la mécanique statistique, on construit ainsi un modèle de particules sans interaction. De plus, si une marque brownienne est attribuée à chaque particule, alors leur dynamique libre est également représentée. En géométrie aléatoire, le modèle booléen est construit en fixant aux points du processus de Poisson des convexes aléatoires indépendants (le plus souvent des boules de rayon aléatoire). De même les mosaïques poissonniennes de Voronoï ou Delaunay sont ainsi définies. Ces modèles poissonniens sont extrêmement étudiés. En particulier, une importante partie des questions de la géométrie aléatoire consiste en l’étude de la loi des cellules typiques des mosaïques, des seuils de percolation dans le modèle boo-léen, etc. Utilisant la nature poissonnienne du processus sous-jacent, certains calculs sont réalisables et les résultats sont plutôt de nature explicite. Ces modèles poissonniens ont l’inconvénient d’exhiber de fortes propriétés d’indépen-dance, les rendant caricaturaux pour certaines applications. En effet, les particules dans un gaz ne sont pas indépendantes mais interagissent entre elles. Les surfaces aléatoires sont également soumises à des forces de tension cherchant par exemple à minimiser le péri-mètre ou la courbure. De même les mosaïques de Voronoï, parfois utilisées pour modéliser des tissus cellulaires, subissent des forces s’exerçant à l’interface des cellules. Dans le cas des systèmes de particules, la mécanique statistique a déjà introduit, depuis longtemps, des interactions dans le modèle poissonnien via des modifications gibbsiennes. En effet, une collection de densités locales compatibles de la formeCste−Eforce le système à pri-vilégier les configurations d’énergieEminimum. Depuis les travaux de Ruelle, la preuve
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rigoureuse de l’existence de ces modèles est établie et de nombreux travaux théoriques et pratiques ont suivi. Pour le modèle booléen, les mosaïques poissonniennes ou tout autre structure géométrique poissonnienne, l’étude des modifications gibbsiennes est beaucoup moins avancée. Il existe bien de nombreux travaux appliqués introduisant les mesures de Gibbs pour des volumes finis, ce qui montre l’importance du champ applicatif de ces modi-fications gibbsiennes. Néanmoins très peu d’entre eux concernent les mesures de Gibbs sur Rdappelées aussi " à volume infini ". Pourtant, leur existence dansRdest indispensable si l’on veut traiter des questions de percolation, de transition de phase (non unicité de la mesure de Gibbs, montrant une forte instabilité du système aux conditions extérieures), de renormalisation macroscopique ou obtenir des résultats asymptotiques dans les problèmes de statistique spatiale. Nous sommes maintenant en mesure de présenter les trois grands thèmes de ce mé-moire. Tout d’abord, dans une première partie, nous étudions les problèmes d’existence de mesures de Gibbs pour les modèles de géométrie aléatoire en interaction. Quelques propriétés des modèles sont également obtenues. Ensuite, puisque les modèles introduits dans le premier chapitre ont une forte vocation applicative, les questions de statistique spatiale nous sont venues naturellement. Ainsi, dans une deuxième partie, nous présen-tons nos travaux théoriques et pratiques sur l’estimation paramétrique pour les modèles gibbsiens avec interaction géométrique. Enfin, dans une troisième partie, nous donnons quelques résultats sur les dynamiques browniennes avec dérive de type gradient agissant sur des processus ponctuels gibbsiens. La thématique de cette dernière partie correspond aux travaux de thèse et aux quelques publications qui ont suivies. Nous avons décidé de ne pas suivre une présentation chronologique car il nous semblait plus naturel de présenter les problèmes statiques dans un premier temps puis dynamiques dans un deuxième temps. Donnons quelques détails sur le contenu de ces trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous présentons les théorèmes d’existence de processus ponc-tuels gibbsiens avec interaction de type géométrique. Tout d’abord, notons que les résul-tats classiques de la mécanique statistique développés par Ruelle, ou encore Preston par la suite, ne s’appliquent pas à toutes les situations d’interaction géométrique que nous avons rencontrées. Le développement de nouveaux outils et techniques était alors nécessaire. Présentons un exemple simple qui illustre les différences avec le cas classique. C’est un cas particulier de l’interaction géométrique, basée sur le graphe de Voronoï, qui est pré-sentée dans la Section 1.3.5. Considérons que l’énergie d’un point dans une configuration ne dépende que de la géométrie de la cellule de Voronoï associée. Evidement l’interaction dépend aussi indirectement des points voisins puisque la cellule de Voronoï en dépend. Un exemple classique venant de la physique des mousses est de considérer cette énergie égale à une constanteβ >0multipliée par le périmètre de la cellule (dansR2) ou la surface de sa frontière (dansR3). Ainsi, la mosaïque de Voronoï gibbsienne associée favorise les configurations de périmètre global minimum. Plusβest grand, plus la mosaïque aléatoire se rapproche des configurations en nid d’abeille. Puisque l’énergie d’une cellule ne tend pas vers zéro quand les points voisins tendent vers l’infini, on peut déjà apercevoir une première différence fondamentale avec le cas classique, où l’énergie entre des points devient toujours petite quand la distance les séparant devient grande. Ceci impose un traitement complète-ment différent de la quasilocalité des noyaux gibbsiens. Une deuxième différence vient du fait qu’une telle interaction n’est pas superstable au sens de Ruelle. Nous verrons que c’est un fait assez général pour les interactions de type géométrique. Ainsi, nos outils n’utilisent pas cette hypothèse et cela nous a permis au passage de relaxer l’hypothèse de supersta-bilité dans les théorèmes de Ruelle pour les interactions à portée finie (seule la stabilité
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est requise). Une troisième différence vient de la perte d’hérédité de certaines interactions géométriques. En effet, supposons que l’on ajoute une interaction hardcore forçant la cel-lule à ne pas être trop grande. Par exemple, on dira que l’énergie de la cellule est égale à l’infini si son volume est plus grand qu’un certainV0fixé. Ce type d’interaction hardcore peut venir, par exemple, des contraintes sur le matériau constituant la mousse. Alors, il est facile d’imaginer une configuration d’énergie localement finie (i.e. le volume de chaque cellule est plus petit queV0) telle que si l’on retire un point, l’énergie devienne localement infinie (i.e. au moins une cellule a un volume plus grand queV0). Lorsque ce phénomène se produit, on parle d’interaction non héréditaire. Cette situation est très courante dans le cas d’interactions contenant une partie hardcore sur les caractéristiques géométriques. Notons que les résultats classiques de mécanique statistique supposent toujours que l’interaction est héréditaire. Nos théorèmes d’existence s’affranchissent donc de la quasilocalité standard, de la su-perstabilité et de l’hérédité. Nos hypothèses sont assez faibles et couvrent tout le spectre des applications que nous avons rencontrées. Notre principal outil est un critère de tension via l’entropie spécifique. Nous obtenons aussi, dans un cas plus particulier, une caracté-risation de ces mesures de Gibbs via un principe variationnel. Des premiers résultats de percolation sont également obtenus pour le modèle booléen gibbsien (modèle Quermass). Dans le deuxième chapitre, nous présentons nos résultats de statistique spatiale ob-tenus pour les processus ponctuels avec interaction classique ou de type géométrique. De nouveau, les résultats existants pour les processus ponctuels gibbsiens ne couvraient pas tout le spectre des interactions géométriques. En effet, la plupart des estimateurs sont ba-sés sur l’équation d’équilibre de Nguyen-Zessin sous la mesure de Palm. Or, cette équation n’est valide que si l’interaction est héréditaire. Dans un premier temps, nous avons donc généralisé cette équation à tout type d’interaction couvrant alors les interactions géomé-triques. Ensuite, nous avons étendu les procédures classiques telles que le maximum de pseudo vraisemblance, de Takacs-Fiksel au cas non héréditaire et nous montrons la conver-gence des estimateurs et la normalité asymptotique. Au passage, nous améliorons certains résultats de convergence pour les interactions classiques. Enfin, récemment, nous avons défini, pour les modèles gibbsiens généraux, un nouvel estimateur paramétrique basé sur une équation variationnelle sous la mesure de Palm. Cet estimateur donne de bons résultats, en particulier dans le cas de processus ponctuels rigides (empilement dense de sphères dures, mosaïques rigides, etc.), et il est incontestablement plus rapide que tous ceux existants jusqu’alors. De plus, nous montrons qu’il a également de bonnes propriétés asymptotiques (consistance et normalité). Dans le troisième chapitre, nous présentons nos résultats concernant les diffusions infini-dimensionnelles de type gradient. Il s’agit de dynamiques browniennes avec dérive agissant sur des processus ponctuels eux-mêmes soumis à une interaction. Nous montrons alors l’équivalence entre être la loi d’une telle diffusion infini-dimensionnelle et être un processus ponctuel gibbsien avec des marques trajectorielles et une interaction définie sur l’espace des trajectoires. Des applications au retournement du temps et à la réversibilité de ces diffusions sont également données. Nous étudions aussi la propagation de gibssianité au cours du temps. Il s’agit de montrer que des propriétés de régularité de l’interaction au tempstse propagent au tempst0> t. Nos résultats concernent les diffusions infini-dimensionnelles indexées par le réseauZdet les méthodes employées ici sont perturbatives, basées sur un développement en amas espace-temps de la densité de la dynamique. Nous obtenons ainsi un résultat de propagation de régularité de l’interaction lorsquet0−test petit ou pour toutt0> tsi l’interaction dynamique est petite.
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Enfin, nous terminons notre mémoire en présentant une perspective de ciant les dynamiques infini-dimensionnelles traitées dans ce dernier chapitre ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique traités dans les chapitres
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recherche asso-et les processus précédents.
Publications
[Der1]caractérisation de champs de Gibbs canoniques surUne RdetC([0,1],Rd), C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 177-182. [Der2]Interacting Brownian particles and Gibbs fields on pathspaces,ESAIM Pro-bab. Stat.7 (2003), 251–277. [Der3]On Gibbsianness of infinite-dimensional diffusionsMarkov Process. Rela-ted Fields10 (2004), no. 3, 395–410. (avec S. Rœlly). [Der4]Propagation of Gibbsianness for infinite-dimensional gradient Brownian diffu-sions,J. Stat. Phys.121, (2005), no. 3-4, 511–551. (avec S. Rœlly). [Der5]Gibbs Delaunay tessellation with Geometric Hardcore Conditions,J. Stat. Phys.131(1), (2008), 127–152. [Der6]Campbell equilibrium equation and pseudo-likelihood estimation for non-hereditary Gibbs point processes,Bernoulli15-4, (2009) 1368-1396. (avec F. Lavancier). [Der7]Existence of Quermass processes for non locally stable interaction and non bounded convex grains,Adv. in Appl. Probab.41 (2009) 664-681. [Der8]Variational principle of Gibbs measures with Delaunay triangle interaction, Electron. J. Prob.14 (2009) 2438-2462. (avec H.-O. Georgii). [Der9]Pratical simulation and estimation for Gibbs Delaunay-Voronoi tessellations, J. Comp. Stat. Data Anal.55 (2011) 498-519. (avec F. Lavancier). [Der10]Existence of Gibbsian point processes with geomety-dependent interactions, à paraître dansProbab. Theory Relat. Fields. (avec R. Drouilhet et H.-0. Georgii). [Der11]Variational estimators for the parameters of Gibbs point process models. (avec A. Baddeley). [Der12]method for stationary marked Gibbs point processesTakacs Fiksel , à paraître dansScandinavian Journal of Statistics. (avec J.-F. Coeurjolly, R. Drouilhet et F. Lavancier).
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Chapitre 1
Processus ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique
Dans ce premier chapitre, nous présentons nos théorèmes d’existence de mesures de Gibbs avec interaction géométrique. Nos résultats s’appuient et prolongent les premiers travaux dans cette direction concernant le modèle booléen gibbsien [4, 47, 76] et les mo-saïques gibbsiennes [5, 6, 7, 8]. Trouver un cadre général pour les modèles gibbsiens avec interaction géométrique fut la première difficulté rencontrée dans ce travail. En effet, à cause de la non quasilocalité standard et la non hérédité de certaines interactions, le formalisme classique de poten-tiel et d’hamiltonien ne fonctionnent pas toujours. En nous inspirant de [77], nous avons utilisé dans [Der5] un formalisme basé sur les complexes simpliciaux pour représenter les mosaïques gibbsiennes. Ensuite, ce formalisme fut généralisé dans [Der10] grâce à une nouvelle notion de potentiel agissant sur un hypergraphe. Ce formalisme englobe tous les exemples de géométrie aléatoire que nous avons rencontrés ainsi que ceux de la mécanique statistique standard. Ainsi, dans ce mémoire, nous présentons uniquement ce formalisme général introduit dans [Der10]. Après avoir introduit un certain nombre de notations nécessaires, nous présentons nos théorèmes d’existence généraux provenant de [Der10]. Ces résultats englobent ceux de [Der5] que nous ne présenterons pas ici. Néanmoins une partie des outils utilisés dans [Der10] proviennent de ce premier article où nous faisions l’initiation de la géométrie aléa-toire gibbsienne. Les résultats d’existence concernant le modèle booléen Gibbsien [Der7] seront donnés ensuite lors de la présentation du modèle ; en effet, ils sont d’un type légè-rement différent. Nous présentons ensuite une section dédiée aux exemples. Nous souhaitons montrer que notre formalisme englobe une large variété de modèles provenant du monde applicatif, de la géométrie aléatoire, de la statistique spatiale. Les théorèmes d’existence sont alors évoqués pour garantir l’existence des modèles. La plupart des modèles sont illustrés par des simulations. En particulier, l’algorithme de simulation pour les mosaïques gibbsiennes provient de la publication [Der9]. Nous présentons aussi un principe variationnel obtenu pour les mosaïques gibbsiennes. Il permet, sous certaines conditions, de caractériser les mosaïques de Delaunay gibbsiennes et de redémontrer leur existence par une méthode abstraite non constructive. Ce travail correspond à la publication [Der8]. Nous finissons ce chapitre avec un travail en cours au sujet de la percolation et la
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