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Niveau: Supérieur

mémoire

Mémoire présenté en vue de l'obtention de L'Habilitation à Diriger des Re her hes Université Paul Sabatier Toulouse 3 Sp é ialité : Mathématiques Appliquées par Didier Auroux Algori thmes rapides p our le trait ement d'images et l'assi mil a t i o n de données Soutenue le 26 Novembre 2008 Après avis de : G. Aubert, Professeur Université de Ni e Sophia-Antip olis P. Rou hon, Professeur Mines ParisTe h F. Santosa, Professeur University of Minnesota Devant le jury omp osé de : G. Aubert, Professeur Université de Ni e Sophia-Antip olis (Rapporteur) J. Blum, Professeur Université de Ni e Sophia-Antip olis (Examinateur) L. Cohen, Dire teur de Re her he CNRS & Université Paris Dauphine (Examinateur) P. Degond, Dire teur de Re her he CNRS & Université Paul Sabatier (Examinateur) M. Masmoudi, Professeur Université Paul Sabatier, Toulouse (Coordinateur) J.-P. Puel, Professeur Université de Versailles Saint-Quentin (Examinateur) P. Rou hon, Professeur Mines ParisTe h (Rapporteur)

amitié de parti ip

développ ement asymptotique

problème de lo alisation des ssures

marie-louise

amitié

gradient top

intro du tion

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Mémoire Scientiﬁque présenté à L’Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis

Par M.David DEREUDRE

Pour l’obtention de

L’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES

Etudes de quelques processus ponctuels gibbsiens en mécanique statistique, géométrie aléatoire et statistique spatiale

Soutenue le 25 novembre 2010

Rapporteurs : Patrick CattiauxProfesseur à l’Université de Toulouse Dominique JeulinDirecteur de Recherche et Professeur à l’Ecole des mines de Paris Jesper MøllerProfesseur à l’Université de Aalborg Examinateurs : Adrian BaddeleyProfesseur à l’Université de Western Australia Youri DavidovProfesseur à l’Université Lille 1 Hans-Otto GeorgiiProfesseur à l’Université de Munich Serge NicaiseProfesseur à l’Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis Sylvie RœllyProfesseur à l’Université de Potsdam

Remerciements

Je remercie tout d’abord ma directrice de thèse Sylvie Rœlly qui m’a initié à la recherche en mathématiques et plus particulièrement à la mécanique statistique que je continue, année après année, à découvrir avec émerveillement. Sa présence dans ce jury me tient particulièrement à cœur. Patrick Cattiaux, Dominique Jeulin et Jesper Møller m’ont fait l’honneur de rapporter ce mémoire. Je leur suis très reconnaissant pour le temps et le soin qu’ils y ont mis. J’ai eu l’opportunité de collaborer avec Hans-Otto Georgii auprès duquel j’ai énormé-ment progressé, aussi bien sur mes connaissances mathématiques que sur ma méthode de recherche. Je le remercie profondément pour ces fructueuses collaborations. Sa présence dans le jury est un grand honneur pour moi. Je remercie Adrian Baddeley et Youri Davidov d’avoir examiné ce mémoire. Leurs encouragements et bons conseils m’ont beaucoup aidé au cours de mon projet scientiﬁque. La présence de Serge Nicaise dans le jury me fait très plaisir. Il est le directeur du la-boratoire depuis mon arrivée à Valenciennes et j’ai toujours ressenti son aide et ses encou-ragements pour les projets que j’entreprenais. Je le remercie aussi pour son enthousiasme communicatif. Je remercie mes coauteurs, Adrian Baddeley, Jean-François Coeurjolly, Remy Drouil-het, Hans-Otto Georgii, Frédéric Lavancier, Sylvie Rœlly pour avoir partagé nos connais-sances et des heures de calcul, bricolage mathématique, coups de génie et déceptions bien sûr... J’espère que nous continuerons encore longtemps. Je remercie Hans Zessin de m’avoir initié à la géométrie aléatoire gibbsienne. Il m’a apporté une thématique qui me réjouit par sa beauté, sa profondeur, sa diﬃculté et l’im-mensité de son champ d’application. Je remercie mes collègues du Lamav pour leur bonne humeur et les nombreuses pauses café indispensables physiquement et psychologiquement. Je remercie en particulier mes deux co-bureaux Emmanuel et Nathalie pour leur très agréable compagnie. Mes derniers remerciements vont à ma famille et mes amis pour leur soutien, aﬀection et joie de vivre. Merci à Julie pour avoir supporté mes humeurs inégales au cours de la préparation de cette HDR.

Table des matières

Introduction 6 Publications 10 1 Processus ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique 11 1.1 Déﬁnition du modèle gibbsien avec interaction géométrique . . . . . . . . . 12 1.1.1 Interaction de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Théorèmes d’existence de mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Les théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Les outils des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Quelques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Le modèle d’interaction par paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Le modèle d’interaction aux plus proches voisins . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Un modèle de triangulations sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.5 Un modèle de cellules de Voronoï en interaction . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Quelques propriétés des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Un principe variationnel pour les interactions aux plus proches voisins 28 1.4.2 Percolation dans le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Quelques équations d’équilibre gibbsiennes et estimateurs paramétriques associés. 31 2.1 Autour de l’équation De Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Equation de Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Estimateur généralisé de la pseudo vraisemblance . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Estimateur de Takacs Fiksel et son application au modèle Quermass 36 2.2 Equations Variationnelles sous la mesure de Palm . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Equation variationnelle pourX=Rd 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Equation variationnelle pourX=Rd× C0([0,1],Rd) 41. . . . . . . . . 2.2.3 Estimateur variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Quelques propriétés des dynamiques browniennes 47 3.1 Dynamiques browniennes avec dérives et mesures de Gibbs trajectorielles . . 48 3.1.1 Dynamiques browniennes de type gradient . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2 Les dynamiques browniennes de type gradient sont des mesures de Gibbs trajectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3 Représentation des mesures de Gibbs trajectorielles générales . . . . 51

3.2

3.3

3.1.4 Applications au retournement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation de gibbsiannité pour les dynamiques browniennes indexées par d Z. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propagation de gibbsiannité à temps court . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propagation de gibbsiannité pour de petites interactions dynamiques Quelques perspectives sur les dynamiques inﬁni-dimensionnelles avec inter-action de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 53 54 56 58

Introduction

Le thème de recherche de ce mémoire concerne l’étude de processus ponctuels marqués et de quelques applications en mécanique statistique, géométrie aléatoire, statistique spa-tiale. Rappelons tout d’abord qu’un processus ponctuel marqué est une collection aléatoire de points localement ﬁnie dans l’espace telle que, à chaque point, il est associé une marque également aléatoire. Le champ d’application de ces processus est immense, donnons juste quelques exemples qui nous intéresseront dans la suite de ce mémoire. Originellement ils ont été introduits en physique pour représenter des systèmes de par-ticules dans un gaz, un ﬂuide, etc. Les points représentent alors la position des particules et les marques désignent une caractéristique des particules (la vitesse, la charge, le type, etc.). Toujours dans le domaine de la mécanique statistique, la marque peut être une fonc-tion continue indiquant la trajectoire de la particule. Les points désignent alors la position des particules au temps initial et les marques leur évolution. En géométrie aléatoire, les convexes fermés sont d’autres types de marques envisagés. En considérant l’union de ces marques centrées aux points du processus, on obtient une surface (ou un volume) aléatoire modélisant des interfaces, des microémulsions, etc. Il existe également de nombreuses mo-saïques construites à partir d’un processus ponctuel (mosaïques de Voronoï, de Delaunay, etc.). Le processus ponctuel de référence pour ces modèles est le processus de Poisson. Il distribue les points dans l’espace de telle sorte que la loi du nombre de points dans un do-maine donné suit une loi de Poisson de paramètre le volume du domaine (pour une mesure de référence) et, sachant le nombre de points dans un domaine, les points sont indépen-damment distribués selon la mesure de référence. Les marques sont également distribuées de façon indépendante. On obtient ainsi toute une collection de modèles aléatoires. Pour la mécanique statistique, on construit ainsi un modèle de particules sans interaction. De plus, si une marque brownienne est attribuée à chaque particule, alors leur dynamique libre est également représentée. En géométrie aléatoire, le modèle booléen est construit en ﬁxant aux points du processus de Poisson des convexes aléatoires indépendants (le plus souvent des boules de rayon aléatoire). De même les mosaïques poissonniennes de Voronoï ou Delaunay sont ainsi déﬁnies. Ces modèles poissonniens sont extrêmement étudiés. En particulier, une importante partie des questions de la géométrie aléatoire consiste en l’étude de la loi des cellules typiques des mosaïques, des seuils de percolation dans le modèle boo-léen, etc. Utilisant la nature poissonnienne du processus sous-jacent, certains calculs sont réalisables et les résultats sont plutôt de nature explicite. Ces modèles poissonniens ont l’inconvénient d’exhiber de fortes propriétés d’indépen-dance, les rendant caricaturaux pour certaines applications. En eﬀet, les particules dans un gaz ne sont pas indépendantes mais interagissent entre elles. Les surfaces aléatoires sont également soumises à des forces de tension cherchant par exemple à minimiser le péri-mètre ou la courbure. De même les mosaïques de Voronoï, parfois utilisées pour modéliser des tissus cellulaires, subissent des forces s’exerçant à l’interface des cellules. Dans le cas des systèmes de particules, la mécanique statistique a déjà introduit, depuis longtemps, des interactions dans le modèle poissonnien via des modiﬁcations gibbsiennes. En eﬀet, une collection de densités locales compatibles de la formeCste−Eforce le système à pri-vilégier les conﬁgurations d’énergieEminimum. Depuis les travaux de Ruelle, la preuve

rigoureuse de l’existence de ces modèles est établie et de nombreux travaux théoriques et pratiques ont suivi. Pour le modèle booléen, les mosaïques poissonniennes ou tout autre structure géométrique poissonnienne, l’étude des modiﬁcations gibbsiennes est beaucoup moins avancée. Il existe bien de nombreux travaux appliqués introduisant les mesures de Gibbs pour des volumes ﬁnis, ce qui montre l’importance du champ applicatif de ces modi-ﬁcations gibbsiennes. Néanmoins très peu d’entre eux concernent les mesures de Gibbs sur Rdappelées aussi " à volume inﬁni ". Pourtant, leur existence dansRdest indispensable si l’on veut traiter des questions de percolation, de transition de phase (non unicité de la mesure de Gibbs, montrant une forte instabilité du système aux conditions extérieures), de renormalisation macroscopique ou obtenir des résultats asymptotiques dans les problèmes de statistique spatiale. Nous sommes maintenant en mesure de présenter les trois grands thèmes de ce mé-moire. Tout d’abord, dans une première partie, nous étudions les problèmes d’existence de mesures de Gibbs pour les modèles de géométrie aléatoire en interaction. Quelques propriétés des modèles sont également obtenues. Ensuite, puisque les modèles introduits dans le premier chapitre ont une forte vocation applicative, les questions de statistique spatiale nous sont venues naturellement. Ainsi, dans une deuxième partie, nous présen-tons nos travaux théoriques et pratiques sur l’estimation paramétrique pour les modèles gibbsiens avec interaction géométrique. Enﬁn, dans une troisième partie, nous donnons quelques résultats sur les dynamiques browniennes avec dérive de type gradient agissant sur des processus ponctuels gibbsiens. La thématique de cette dernière partie correspond aux travaux de thèse et aux quelques publications qui ont suivies. Nous avons décidé de ne pas suivre une présentation chronologique car il nous semblait plus naturel de présenter les problèmes statiques dans un premier temps puis dynamiques dans un deuxième temps. Donnons quelques détails sur le contenu de ces trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous présentons les théorèmes d’existence de processus ponc-tuels gibbsiens avec interaction de type géométrique. Tout d’abord, notons que les résul-tats classiques de la mécanique statistique développés par Ruelle, ou encore Preston par la suite, ne s’appliquent pas à toutes les situations d’interaction géométrique que nous avons rencontrées. Le développement de nouveaux outils et techniques était alors nécessaire. Présentons un exemple simple qui illustre les diﬀérences avec le cas classique. C’est un cas particulier de l’interaction géométrique, basée sur le graphe de Voronoï, qui est pré-sentée dans la Section 1.3.5. Considérons que l’énergie d’un point dans une conﬁguration ne dépende que de la géométrie de la cellule de Voronoï associée. Evidement l’interaction dépend aussi indirectement des points voisins puisque la cellule de Voronoï en dépend. Un exemple classique venant de la physique des mousses est de considérer cette énergie égale à une constanteβ >0multipliée par le périmètre de la cellule (dansR2) ou la surface de sa frontière (dansR3). Ainsi, la mosaïque de Voronoï gibbsienne associée favorise les conﬁgurations de périmètre global minimum. Plusβest grand, plus la mosaïque aléatoire se rapproche des conﬁgurations en nid d’abeille. Puisque l’énergie d’une cellule ne tend pas vers zéro quand les points voisins tendent vers l’inﬁni, on peut déjà apercevoir une première diﬀérence fondamentale avec le cas classique, où l’énergie entre des points devient toujours petite quand la distance les séparant devient grande. Ceci impose un traitement complète-ment diﬀérent de la quasilocalité des noyaux gibbsiens. Une deuxième diﬀérence vient du fait qu’une telle interaction n’est pas superstable au sens de Ruelle. Nous verrons que c’est un fait assez général pour les interactions de type géométrique. Ainsi, nos outils n’utilisent pas cette hypothèse et cela nous a permis au passage de relaxer l’hypothèse de supersta-bilité dans les théorèmes de Ruelle pour les interactions à portée ﬁnie (seule la stabilité

est requise). Une troisième diﬀérence vient de la perte d’hérédité de certaines interactions géométriques. En eﬀet, supposons que l’on ajoute une interaction hardcore forçant la cel-lule à ne pas être trop grande. Par exemple, on dira que l’énergie de la cellule est égale à l’inﬁni si son volume est plus grand qu’un certainV0ﬁxé. Ce type d’interaction hardcore peut venir, par exemple, des contraintes sur le matériau constituant la mousse. Alors, il est facile d’imaginer une conﬁguration d’énergie localement ﬁnie (i.e. le volume de chaque cellule est plus petit queV0) telle que si l’on retire un point, l’énergie devienne localement inﬁnie (i.e. au moins une cellule a un volume plus grand queV0). Lorsque ce phénomène se produit, on parle d’interaction non héréditaire. Cette situation est très courante dans le cas d’interactions contenant une partie hardcore sur les caractéristiques géométriques. Notons que les résultats classiques de mécanique statistique supposent toujours que l’interaction est héréditaire. Nos théorèmes d’existence s’aﬀranchissent donc de la quasilocalité standard, de la su-perstabilité et de l’hérédité. Nos hypothèses sont assez faibles et couvrent tout le spectre des applications que nous avons rencontrées. Notre principal outil est un critère de tension via l’entropie spéciﬁque. Nous obtenons aussi, dans un cas plus particulier, une caracté-risation de ces mesures de Gibbs via un principe variationnel. Des premiers résultats de percolation sont également obtenus pour le modèle booléen gibbsien (modèle Quermass). Dans le deuxième chapitre, nous présentons nos résultats de statistique spatiale ob-tenus pour les processus ponctuels avec interaction classique ou de type géométrique. De nouveau, les résultats existants pour les processus ponctuels gibbsiens ne couvraient pas tout le spectre des interactions géométriques. En eﬀet, la plupart des estimateurs sont ba-sés sur l’équation d’équilibre de Nguyen-Zessin sous la mesure de Palm. Or, cette équation n’est valide que si l’interaction est héréditaire. Dans un premier temps, nous avons donc généralisé cette équation à tout type d’interaction couvrant alors les interactions géomé-triques. Ensuite, nous avons étendu les procédures classiques telles que le maximum de pseudo vraisemblance, de Takacs-Fiksel au cas non héréditaire et nous montrons la conver-gence des estimateurs et la normalité asymptotique. Au passage, nous améliorons certains résultats de convergence pour les interactions classiques. Enﬁn, récemment, nous avons déﬁni, pour les modèles gibbsiens généraux, un nouvel estimateur paramétrique basé sur une équation variationnelle sous la mesure de Palm. Cet estimateur donne de bons résultats, en particulier dans le cas de processus ponctuels rigides (empilement dense de sphères dures, mosaïques rigides, etc.), et il est incontestablement plus rapide que tous ceux existants jusqu’alors. De plus, nous montrons qu’il a également de bonnes propriétés asymptotiques (consistance et normalité). Dans le troisième chapitre, nous présentons nos résultats concernant les diﬀusions inﬁni-dimensionnelles de type gradient. Il s’agit de dynamiques browniennes avec dérive agissant sur des processus ponctuels eux-mêmes soumis à une interaction. Nous montrons alors l’équivalence entre être la loi d’une telle diﬀusion inﬁni-dimensionnelle et être un processus ponctuel gibbsien avec des marques trajectorielles et une interaction déﬁnie sur l’espace des trajectoires. Des applications au retournement du temps et à la réversibilité de ces diﬀusions sont également données. Nous étudions aussi la propagation de gibssianité au cours du temps. Il s’agit de montrer que des propriétés de régularité de l’interaction au tempstse propagent au tempst0> t. Nos résultats concernent les diﬀusions inﬁni-dimensionnelles indexées par le réseauZdet les méthodes employées ici sont perturbatives, basées sur un développement en amas espace-temps de la densité de la dynamique. Nous obtenons ainsi un résultat de propagation de régularité de l’interaction lorsquet0−test petit ou pour toutt0> tsi l’interaction dynamique est petite.

Enﬁn, nous terminons notre mémoire en présentant une perspective de ciant les dynamiques inﬁni-dimensionnelles traitées dans ce dernier chapitre ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique traités dans les chapitres

recherche asso-et les processus précédents.

Publications

[Der1]caractérisation de champs de Gibbs canoniques surUne RdetC([0,1],Rd), C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 177-182. [Der2]Interacting Brownian particles and Gibbs ﬁelds on pathspaces,ESAIM Pro-bab. Stat.7 (2003), 251–277. [Der3]On Gibbsianness of inﬁnite-dimensional diﬀusionsMarkov Process. Rela-ted Fields10 (2004), no. 3, 395–410. (avec S. Rœlly). [Der4]Propagation of Gibbsianness for inﬁnite-dimensional gradient Brownian diﬀu-sions,J. Stat. Phys.121, (2005), no. 3-4, 511–551. (avec S. Rœlly). [Der5]Gibbs Delaunay tessellation with Geometric Hardcore Conditions,J. Stat. Phys.131(1), (2008), 127–152. [Der6]Campbell equilibrium equation and pseudo-likelihood estimation for non-hereditary Gibbs point processes,Bernoulli15-4, (2009) 1368-1396. (avec F. Lavancier). [Der7]Existence of Quermass processes for non locally stable interaction and non bounded convex grains,Adv. in Appl. Probab.41 (2009) 664-681. [Der8]Variational principle of Gibbs measures with Delaunay triangle interaction, Electron. J. Prob.14 (2009) 2438-2462. (avec H.-O. Georgii). [Der9]Pratical simulation and estimation for Gibbs Delaunay-Voronoi tessellations, J. Comp. Stat. Data Anal.55 (2011) 498-519. (avec F. Lavancier). [Der10]Existence of Gibbsian point processes with geomety-dependent interactions, à paraître dansProbab. Theory Relat. Fields. (avec R. Drouilhet et H.-0. Georgii). [Der11]Variational estimators for the parameters of Gibbs point process models. (avec A. Baddeley). [Der12]method for stationary marked Gibbs point processesTakacs Fiksel , à paraître dansScandinavian Journal of Statistics. (avec J.-F. Coeurjolly, R. Drouilhet et F. Lavancier).

Chapitre 1

Processus ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique

Dans ce premier chapitre, nous présentons nos théorèmes d’existence de mesures de Gibbs avec interaction géométrique. Nos résultats s’appuient et prolongent les premiers travaux dans cette direction concernant le modèle booléen gibbsien [4, 47, 76] et les mo-saïques gibbsiennes [5, 6, 7, 8]. Trouver un cadre général pour les modèles gibbsiens avec interaction géométrique fut la première diﬃculté rencontrée dans ce travail. En eﬀet, à cause de la non quasilocalité standard et la non hérédité de certaines interactions, le formalisme classique de poten-tiel et d’hamiltonien ne fonctionnent pas toujours. En nous inspirant de [77], nous avons utilisé dans [Der5] un formalisme basé sur les complexes simpliciaux pour représenter les mosaïques gibbsiennes. Ensuite, ce formalisme fut généralisé dans [Der10] grâce à une nouvelle notion de potentiel agissant sur un hypergraphe. Ce formalisme englobe tous les exemples de géométrie aléatoire que nous avons rencontrés ainsi que ceux de la mécanique statistique standard. Ainsi, dans ce mémoire, nous présentons uniquement ce formalisme général introduit dans [Der10]. Après avoir introduit un certain nombre de notations nécessaires, nous présentons nos théorèmes d’existence généraux provenant de [Der10]. Ces résultats englobent ceux de [Der5] que nous ne présenterons pas ici. Néanmoins une partie des outils utilisés dans [Der10] proviennent de ce premier article où nous faisions l’initiation de la géométrie aléa-toire gibbsienne. Les résultats d’existence concernant le modèle booléen Gibbsien [Der7] seront donnés ensuite lors de la présentation du modèle ; en eﬀet, ils sont d’un type légè-rement diﬀérent. Nous présentons ensuite une section dédiée aux exemples. Nous souhaitons montrer que notre formalisme englobe une large variété de modèles provenant du monde applicatif, de la géométrie aléatoire, de la statistique spatiale. Les théorèmes d’existence sont alors évoqués pour garantir l’existence des modèles. La plupart des modèles sont illustrés par des simulations. En particulier, l’algorithme de simulation pour les mosaïques gibbsiennes provient de la publication [Der9]. Nous présentons aussi un principe variationnel obtenu pour les mosaïques gibbsiennes. Il permet, sous certaines conditions, de caractériser les mosaïques de Delaunay gibbsiennes et de redémontrer leur existence par une méthode abstraite non constructive. Ce travail correspond à la publication [Der8]. Nous ﬁnissons ce chapitre avec un travail en cours au sujet de la percolation et la

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