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PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r i g e d u q u a t r i e m e D e v o i r S u r v e i l l e G e o m e t r i e a n a l y t i q u e e t c o u r b e s p a r a m e t r e e s Questions de geometrie dans l'espace L'espace E est rapporte a un repere orthonorme direct ( O, ?? i , ?? j , ?? k ) . 1. Soient a un nombre reel positif et A(a, 1, 1), B(1, a, 1) et C(1, 1, a). Determiner a tel que l'aire du triangle ABC soit egale a 1. 2. Calculer la distance de A(?1, 1, 3) a D d'equations parametriques ? ? ? x = 1 + 2? y = 2? ? z = 2 + 2? , ? ? R. 3. Soient a et b des parametres reels. On note Da,b la droite d'equations parametriques ? ? ? x = a y = b z = ? ou ? ? R. et D? la droite d'equations cartesiennes { x + y ? z = 0 x? y ? z = 0 (a) Former des equations cartesiennes de la droite Da,b.
- courbe
- ??? ? ??
- systeme d'equations lineaires
- equation cartesienne
- ??u
- coordonnees
- unique point
- droites da
- vecteurs ??u
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PCSI
C o r r i g ´
d u
Math´matiques
q u a t r i ` m e
D e v o i r
Lyc´e Brizeux - ann´e 2009-2010
S u rv e i l l ´
G ´ o m ´ t r i ea n a l y t i q u ee tc o u r b e sp a r a m ´ t r ´ e s
Questions de g´om´trie dans l’espace
−→−→−→
L’espaceEest rapport´ ` un rep`re orthonorm´ direct, jO, i., k
1. Soientaun nombre r´el positif etA(a,1,1), B(1, a,1) etC(1,1, a).D´termineratel que l’aire du triangle
ABCsoit ´gale ` 1.
2. Calculerla distance deA(−1,1,3) `Dd’´quations param´triques
x= 1+ 2λ
y= 2−λλ ,∈R.
z= 2+ 2λ
3. Soientaetbdes param`tres r´els. On noteDa,bla droite d’´quations param´triques
x=a
y=bo`λ∈R.
z=λ
′
etDla droite d’´quations cart´siennes
x+y−z
x−y−z
=
=
0
0
(a) Formerdes ´quations cart´siennes de la droiteDa,b.
′ ′
(b) V´rifierque la droiteDpasse parO.En d´duire une repr´sentation param´trique de la droiteD .
On suppose dor´navant queb6= 0.
′
(c) Etablirqu’il existe une unique droite, not´e Δ,perpendiculaire `Da,betD(On pr´cisera la mani`re
de d´finir Δ).
(d) End´duire des ´quations cart´siennes de Δ puis les coordonn´es du point d’intersection de Δ et
′ ′
t celles du point d’intersection de Δ etD(not´M.
Da,b(not´Ma,b) ea,b)
′
(e) D´terminerl’´quation cart´sienne d’une sph`reStangente `Da,betD .
−→−→
kAB∧ACk
1. L’airedu triangleABCest ´gale `.
2
2
(a−1)
√
−→−→
2 2
Les coordonn´es deAB∧ACsont(a−1).Sa norme est donc ´gale `3(a−1).Il s’ensuit que l’aire du
2
(a−1)
√
2
triangleABCest ´gale `1si et seulement sia= 1 +1.
3
4
2
−→
2. LadroiteDpasse par le pointBde coordonn´es(1,2,2)et est dirig´ par le vecteurude coordonn´es−1.
2
La distance du pointB` la droiteDest donc ´gale ` :
−→
−→
kBA∧uk
.
−→
kuk
1
