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Niveau: Supérieur
PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r i g e d u q u a t r i e m e D e v o i r S u r v e i l l e G e o m e t r i e a n a l y t i q u e e t c o u r b e s p a r a m e t r e e s Questions de geometrie dans l'espace L'espace E est rapporte a un repere orthonorme direct ( O, ?? i , ?? j , ?? k ) . 1. Soient a un nombre reel positif et A(a, 1, 1), B(1, a, 1) et C(1, 1, a). Determiner a tel que l'aire du triangle ABC soit egale a 1. 2. Calculer la distance de A(?1, 1, 3) a D d'equations parametriques ? ? ? x = 1 + 2? y = 2? ? z = 2 + 2? , ? ? R. 3. Soient a et b des parametres reels. On note Da,b la droite d'equations parametriques ? ? ? x = a y = b z = ? ou ? ? R. et D? la droite d'equations cartesiennes { x + y ? z = 0 x? y ? z = 0 (a) Former des equations cartesiennes de la droite Da,b.

courbe

??? ? ??

systeme d'equations lineaires

equation cartesienne

coordonnees

unique point

droites da

vecteurs ??u

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PCSI

C o r r i g ´

d u

Math´matiques

q u a t r i ` m e

D e v o i r

Lyc´e Brizeux - ann´e 2009-2010

S u rv e i l l ´

G ´ o m ´ t r i ea n a l y t i q u ee tc o u r b e sp a r a m ´ t r ´ e s

Questions de g´om´trie dans l’espace

−→−→−→
L’espaceEest rapport´ ` un rep`re orthonorm´ direct, jO, i., k
1. Soientaun nombre r´el positif etA(a,1,1), B(1, a,1) etC(1,1, a).D´termineratel que l’aire du triangle
ABCsoit ´gale ` 1.
2. Calculerla distance deA(−1,1,3) `Dd’´quations param´triques

x= 1+ 2λ
y= 2−λλ ,∈R.

z= 2+ 2λ

3. Soientaetbdes param`tres r´els. On noteDa,bla droite d’´quations param´triques

x=a
y=bo`λ∈R.

z=λ

′
etDla droite d’´quations cart´siennes

x+y−z
x−y−z

=
=

0
0

(a) Formerdes ´quations cart´siennes de la droiteDa,b.
′ ′
(b) V´riﬁerque la droiteDpasse parO.En d´duire une repr´sentation param´trique de la droiteD .

On suppose dor´navant queb6= 0.
′
(c) Etablirqu’il existe une unique droite, not´e Δ,perpendiculaire `Da,betD(On pr´cisera la mani`re
de d´ﬁnir Δ).
(d) End´duire des ´quations cart´siennes de Δ puis les coordonn´es du point d’intersection de Δ et
′ ′
t celles du point d’intersection de Δ etD(not´M.
Da,b(not´Ma,b) ea,b)
′
(e) D´terminerl’´quation cart´sienne d’une sph`reStangente `Da,betD .

−→−→
kAB∧ACk
1. L’airedu triangleABCest ´gale `.
2
 
2
(a−1)
√
−→−→
2 2
 
Les coordonn´es deAB∧ACsont(a−1).Sa norme est donc ´gale `3(a−1).Il s’ensuit que l’aire du
2
(a−1)
√
2
triangleABCest ´gale `1si et seulement sia= 1 +1.
3
4
 
2
−→
 
2. LadroiteDpasse par le pointBde coordonn´es(1,2,2)et est dirig´ par le vecteurude coordonn´es−1.
2
La distance du pointB` la droiteDest donc ´gale ` :
−→
−→
kBA∧uk
.
−→
kuk