PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee
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PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r e c t i o n d u P r e m i e r D e v o i r S u r v e i l l e P r o b l e m e s d ' a n a l y s e d e T e r m i n a l e Exercice 1 1. Calcul de lim x?0 ln(1? ex) x . – Remarquons tout d'abord que la limite en 0+ n'est pas definie puisque si x ≥ 0, alors 1? ex ≤ 0 et la fonction ln n'est pas definie sur R?. – Calculons la limite en 0?. On a : lim x?0? 1 x = ?∞ et lim x?0? ln(1? ex) = ?∞. Donc le produit des deux limites donne : lim x?0 ln(1? ex) x = +∞. 2. Calcul de lim x?+∞ √ ex + x? e x 2 . En multipliant par la quantite conjuguee, il vient : √ ex + x? e x 2 = x √ ex + x + e x 2 . En factorisant le denominateur par e x 2 , nous obtenons l'egalite : x √ ex + x + e x 2 = x e x 2 1 √ 1 + xex + 1 .
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PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r e c t i o n d u P r e m i e r D e v o i r S u r v e i l l e P r o b l e m e s d ' a n a l y s e d e T e r m i n a l e Exercice 1 1. Calcul de lim x?0 ln(1? ex) x . – Remarquons tout d'abord que la limite en 0+ n'est pas definie puisque si x ≥ 0, alors 1? ex ≤ 0 et la fonction ln n'est pas definie sur R?. – Calculons la limite en 0?. On a : lim x?0? 1 x = ?∞ et lim x?0? ln(1? ex) = ?∞. Donc le produit des deux limites donne : lim x?0 ln(1? ex) x = +∞. 2. Calcul de lim x?+∞ √ ex + x? e x 2 . En multipliant par la quantite conjuguee, il vient : √ ex + x? e x 2 = x √ ex + x + e x 2 . En factorisant le denominateur par e x 2 , nous obtenons l'egalite : x √ ex + x + e x 2 = x e x 2 1 √ 1 + xex + 1 .
- meme calcul
- elevant en elevant
- f?
- courbe c?
- tableau de signe
- calcul de lim x?
- operations usuelles sur les limites
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PCSI
Math´ematiques
Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010
CorrectionduPremierDevoirSurveill´e
P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e
Exercice 1
x ln(1−e) 1. Calculdelim. x x→0 +x – Remarquonstout d’abord que la limite en0uqseupsinfieidse´’enpastix≥0, alors1−e≤0et la fonction ln’nuresniefid´astpesR−. − – Calculonsla limite en0. On a : 1x lim =−∞etlim ln(1−e) =−∞. − − x→0xx→0 Donc le produit des deux limites donne : x ln(1−e) lim =+∞. x→0 x √x x2 2. Calculdelime+x−e. x→+∞ √x x x 2 Enmultipliantparlaquantite´conjugu´ee,ilvient:e+x−e=√x. x e+x+e 2 x Enfactorisantled´enominateurparengoanlsiolb’t´eenoust´e:, 2 x x1 √x=xp. x x e+x+e e1 +x+ 1 2 2 e Or, on sait que : x x limx0= =. x e e x→+∞2 1 1 Donclimp=, ainsi : x 1 +x+ 12 x→+∞ e √x x2 lime+x−e= 0. x→+∞
Exercice2.Unesuitedesolutionsd’´equations
1.Pnselbavire´dtseurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, 0n−1 Pn(x) =n x+ 1. Lade´riv´eedePnest donc strictement positive sur[0,1].´equconsraPent,Pnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur[Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =−1etPn(1) = 1. L’e´quationPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionPn+1−Pn.miarn´ie`gearleetmle’ntodbetlean.Opnueusvinaet Pour toutx∈]0,1[, n+1n x <x . n+1n D’ou`x+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[.
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3.Appliquonsl’ine´galite´pre´c´edentepourx=αn. On obtient Pn+1(αn+1)< Pn(αn). Puisqueαninfie´draptselusoueiqunl’ontina`ttrnepaapitnoa]0,1[dePn(x) = 0, αnerifiv´e Pn(αn) = 0. D’o`uPn+1(αn)<0. ∗ Soitn∈N. Pn+1est strictement croissante et1. Pn+1(αn)<0; 2. Pn+1(αn+1) = 0. Ceci entraˆıneαn< αn+1. ∗ Parcons´equent,αn< αn+1pour toutn∈N.Ceceitusaleuqtilbate´i(αn)∗est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(αn)∗ntsamae,tcenisroirtsmetctsepaeer´jor1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤αn≤`. D’o`uen´elevantene´levanta`lapuissancen: n n∗ 0≤αn≤`pour toutn∈N. n 6. (a)La suite(`)n∈Niaosdereiruq´mteneog´teuiesunste`avec|`|<1.On a dans ce cas n lim`= 0. n→+∞ D’apre`sl’ine´galite´obtenue`alaquestion5,onend´eduitque n limαn= 0 n→+∞ envertuduth´eore`medesgendarmes. ∗ (b) Parailleurs, pour toutn∈N, n αn+αn−1 = 0. Onend´eduitd’apre`slesope´rationsusuellessurleslimitesque limαn= 1. n→+∞ Ceciconstitueunecontradiction(onasuppose´` <1et on trouve`= 1). Ainsi`≥1. 7. Onsait que`≤1.En effetαn≤1pour toutn∈N.rdOeuqaoitsrpa’lse`dente,onnpr´ec´eioreneptuva` <1. D’o`u `= 1.
Proble`me1:surlesfonctionssigmoı¨des
Partie I : La fonction tangente hyperbolique cf. cours.
Partie II : Etude de la fonctionfl.
1 Lafonctionsigmo¨ıdedeparam`etreλreiapfin´etdesfλ(x) =. 1+e−λx
−λx 1. Remarquonsque∀x∈R,1 +e >0anetonimdee´nolcddeurfλ; la fonctionne s’annule jamaisfλefinieestd´ surRelagtnemouqre´sn).vemaReponttisirtcietem(tesestuqefλrlesuetsviba´dreR, puisque c’est l’inverse de la la fonctionx7→1 +e−λxrivablesur,leelˆmmedee´R(et ne s’annulant jamais surR). (a) Casλ= 0. La fonctionfλegalnte´nstaonco`eatdesitcnofalsacecsna1.
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(b) Casλ >0v´rideee.aCcllunolsdae´fλ: −λx 0e ∀x∈R, fλ(x) =λ . −λx2 (1 +e) Ainsi, nous avons∀x∈R, fλ(x)>0. Ainsifλest strictement croissante surR. Calculons les limites defλfinition.bleded´eosensnmeobnrseeduxa:uedqroba’dsnouqrameR −λx−λx lime= +∞etlime= 0. x→−∞x→+∞ Il vient donc clairement : limfλ(x) = 0etlimfλ(x) = 1. x→−∞x→+∞ Nouspouvonsde´sormaisdresserletableaudevariationdefλ: x−∞+∞ fλ(x) 0%1 (c) Casλ <0ierCuaqc´mt.eottityuseas`tasfnt.N´eder´eceaupaelbatelsnovasuo:ontiiaarevud x−∞+∞ fλ(x) 0&1 La courbeCλtueentresesipmysetotdsecaxueletales:orshonizitessdroquatd’´eoiny= 0ety= 1.
2. Fig.1 – Les courbesC1etC−1. 3. Pourλ6= 0, la fonctionfλest strictement monotone et continue surRsnoitairavedxuael’D.`rpaelsebats pre´c´edents,ellede´finitunebijectiondeRsur]0,1[ecr´roipecsclaassnotnad,pxE.iciluqdeefλ: soity∈]0,1[tel quey=fλ(x), 1 y=−λx 1+e −λx1 ⇔e=−1 y
1 La fonctionlnofcnedalitnoar´eestloqueciprexpet comme0< y <1, nous avons−1>0. En appliquantln y `aladerni`ere´egalite´,nousavons: y=fλ(x) 1 ⇔ −λx= ln−1 y
Puisqueλno´eulnnlv,intieeustssoppopruodcny∈]−1,1[: 1y y=fλ(x)⇔x= ln. λ1−y L’application : 1y ]0,1[→R, x7→ln, λ1−y est-donclar´eciproquedel’applicationfλ:R→]0,1[. −2x 1−e 4. Remarquonsque∀x∈R,th(x) =.u,o`D’ −2x 1 +e −λx−λx 1 1λx1 +e+ 1−e + th() ==fλ(x). −λx 2 22 2(1 +e)
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PartieIII:Proprie´t´esge´om´etriquesdeCλ 1. Unsimple calcul nous donne∀x∈R, fλ(x) +f−λ(x) = 1escourbestiude´dnleuqcnodne.OCλetC−λsont 1 sym´etriquesparrapport`aladroited’e´quationy=. 2 Onremarquee´galementque∀x∈R, fλ(x) =f−λ(−x)donc les courbesCλetC−λelagtnemose´tnesqurpam´syriet rapporta`l’axedesabscisses. 2.Lemeˆmecalculquelaquestionpre´ce´dentenousdonne: fλ(x) +f−λ(x) 1 ∀x∈R,=. 2 2 1 Onend´eduitdoncqueI(0; )centredesym´etripeuorenutsCλ. 2 0 3. Lafonctionfλru,efid´esniRerd´ncdo.Aleabivisni,utseouqnneittdedeuxfonctions´drevibaelesettsfλest bien deuxfoisd´erivableetonve´rifieque 2−λx 00λ e−λx fλ(x) =e−1. 3 −λx (1 +e) 00 −λx Doncfλ(x) = 0si et seulement sie= 1. 00 Ainsifλs’annule uniquement enx= 0. 4. Latangente enx= 0eeqdu’a´toiuornb:tlaces λ1 y=x+. 4 2 Etudions la position relative de cette droite et deCλnotclsfaoincelaPourdion´etu.gλrsuiefinde´Rpargλ(x) = λ1 fλ(x)−x−. 4 2 Cettefonctionestclairementd´erivablesurR´dasvireee´etet −λx 0e λλ−λx−2λx gλ(x) =λ−= 2e−1−e . −λx2−λx2 (1 +e4(1 +) 4e) 2 −λx−2λx−λx0 Or2e−1−e=−e−1, doncgλest du signe de−λsurR. λ1 (a) Casλ >0.gλestsetemrtciceortn´dsaisesnturRetgλ(0) = 0tr´eelnoD.uopcuotrxpositif,fλ(x)≥x+. 4 2 λ1 AinsiCλest au dessus de sa tangente en0eeltu´rruotnfiopEn.x,atifn´egfλ(x)≤x+. AinsiCλest au 4 2 dessous de sa tangente en0. (b) Casλ <0´eduitdu.Ilsedir.e´mtec´edpr´earsyentp
PartieIV:Des´equationsdiffe´rentielles 1λx 1. LafonctionFλ(x+) =ln 1eures´dfieinRest une primitive defλ. λ F(x) λ 2.Supposonsmomentane´mentquelimx→+∞existe. SoitGλune primitive defλ. Il existek∈Rtel que x k Gλ=Fλ+k. Commelimx→+∞= 0, nous avons : x Fλ(x)Gλ(x) lim =lim. x→+∞x→+∞ x x Fλ(x) Montrons maintenant quelimexiste. x→+∞ x λx λx−λx−λx ln(1 +e) ln(e) +ln(1 +e)ln(1 +e) (a) Casλ >0. Nous avons=.0r,lim =0’du`o x xx x→+∞ Fλ(x) lim =1. x→+∞ x (b) Casλ <0C.cesaenopesapdseprobl`eme: Fλ(x) lim =0. x x→+∞ Remarquons que la limite en−∞denest.aspr´ec´desdeuxcesrtapsriaettrieym´eaide`al’
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