PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee 2011 2012

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
S u r l e s f o n c t i o n s u s u e l l e s
I Exponentielles, logarithmes, puissances.
1. D´eterminer, si elles existent, les limites suivantes :

x xexpx+lnx (x )xlnx(a) lim (b) lim ln (c) lim x .xexpx exp(2x)+x xx→+∞ x→+∞ x→+∞
2. Donner une condition sur a > 1 pour que l’´equation log (x) = x ait : au moins une solution; exactementa
une solution. Combien de solutions l’´equation poss`ede-t-elle au maximum?
1´ x3. Etudiez x7→ x .
√ √x x4. R´esoudre l’´equation x = ( x) . On pr´ecisera auparavant l’ensemble dans lequel chercher l’inconnue
x.
5. Simplifier les expressions suivantes en x. On pr´ecisera au pr´ealable le domaine de validit´e de l’expression :
ln(lnx) yxlnx(a) x (b) log log x .x x
?6. Montrer que ln ne s’´ecrit pas comme une fraction rationnelle en x sur son domaine de d´efinition.
Indication On pourra raisonner par l’absurde et s’appuyer sur la croissance compar´ee en +∞.
´II fonctions hyperboliques et leur reciproque
7. Etudier et repr´esenter la fonction argch◦ch.
1/x
8. Faire l’´etude de la fonction f d´efinie par f(x) = (chx) .
9. D´eterminer le domaine de d´efinition et de d´erivabilit´e puis calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes :
2 3(a) x7→ argch(2x −1) (b) x7→ argsh(3x+4x )
10. Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
ln(chx)
(a) lim (b) lim (chx) exp(shx) (c) lim x ln(shx).
x→0 x→−∞ x→0+x
11. R´esoudre l’´equation chx = 2.
12. Montrer de deux fa¸cons diff´erentes les ´egalit´es suivantes :
√
2(a) Pour tout x≥ 1, argch x = ln(x+ x −1). En d´eduire une expression de argch(2).
√
2(b) Pour tout x∈R, argsh x = ln(x+ 1+x ).

1 1+x(c) Pour tout x∈]−1,1[, argth x = ln .2 1−x
13. Simplifierlesexpressionsenxquisuivent.Onpr´eciseraaupr´ealableledomainedevalidit´edel’expression.
q 2x −1 chx−12(a) argsh (b) argch 2x −1 (c) argth .
2x chx+1
´III Fonctions circulaires et leur reciproque
14. R´esoudre les ´equations ou in´equations suivantes.
π π(a) cos(x− ) = cos(x+ ) dansR;
2 3
(b) sin(2x) = cos(3x) dansR;
1
eleilTFDude22(c) 2(cosx) −cosx−1 = 0 dansR;
√
π 3(d) sin(x− )≥ dans [−π,π].3 2
π 3π(e) tanx >−1 dans ] , [.
2 2
π π15. Soient a et b avec a6∈ +πZ; b6∈ +πZ.2 2
πMontrer que a+b≡ mod π si et seulement si tan(a) tan(b) = 1.
2
πSi a+b6∈ +πZ, montrer alors que2
tan(a)+tan(b)
tan(a+b) = .
1−tan(a)tan(b)
θ 116. Soit t = tan . Etablir les formules suivantes :
2
21−t 2t 2t
cosθ = , sinθ = , tanθ = .
2 2 21+t 1+t 1−t
A quelle condition sur θ, ces formules sont-elles valables?

59π −2π 2π 3π17. Calculer arccos cos ; arccos cos ; arcsin sin ; arctan tan .
3 3 3 4
18. Etudier et repr´esenter les fonctions arccos◦cos, arcsin◦sin, arctan◦tan.
π 1 119. Montrer que = arctan +arctan .
4 2 3
20. D´eterminer le domaine de d´efinition et de d´erivabilit´e puis calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes :

21−x 1 x√(a) arccos +2arctan(x) (b) arctan(shx)−arccos (c) arcsin .2 21+x ch(x) 1+x
q
1−sinx21. Soit f d´efinie par arctan .1+sinx
(a) D´eterminer le domaine de d´efinition et la p´eriodicit´e de f.
(b) Montrer que f est affine sur ]−π/2,π/2].
(c) En d´eduire les variations ainsi que la repr´esentation graphique de la fonction f.
π22. Montrer que pour tout x∈ [−1,1], arccosx+arcsinx = .2
1 π23. Montrer que pour x > 0, arctanx+arctan = . Que dire lorsque x < 0?
x 2
x x24. Montrer de deux fa¸cons diff´erentes que x7→ arctan(e )−arctan(th ) est une fonction constante sur son2
domaine de d´efinition. On pr´ecisera la valeur de la constante.
225. R´esoudre les ´equations suivantes. On pr´ecisera auparavant le domaine de validit´e de l’´equation.
√
4 5(a) arcsinx = arcsin +arcsin (b) arcsin(2x) = arcsinx+arcsin( 2x)5 13
√
7π(c) arctanx+arctan x 3 = .
12
1Les formules donnant cos et sin permettent de d´ecrire le cercle unit´e a` l’aide de la param´etrisation “rationnelle” t 7→
21−t 2t( , ). Ellespermettentded´eterminertouslestrianglesrectanglesdontleslongueursdescˆot´essontenti`eres(commun´ement2 21+t 1+t
appel´es triplets pythagoriciens).
2C’est-` a-dire dans quel ensemble l’inconnue x doit ˆetre cherch´ee.
2Extrait de DS : une fonction moustache
cosxSoit f la fonction d´efinie par f(x) = cos(x) .
1. Question pr´eliminaire.
1 π(a) Justifier que α = arccos ∈]0, [. On rappelle que e∈]2,3[.
e 2
(b) Donner une expression simplifi´ee de f(α). On justifiera les simplifications op´er´ees.
2. D´eterminer le domaine de d´efinition D de f.f
π´3. Etudier la p´eriodicit´e et la parit´e de f. En d´eduire que l’´etude de f peut se restreindre `a [0, [.2
π 04. Montrer que f est d´erivable sur [0, [, puis calculer f .2
05. En d´eduire que l’´etude du signe de f se ram`ene a` celle du signe de x7→ 1+ln(cosx).
6. D´eterminer lim f(x).
πx→
2
7. Dresser le tableau de variations sur l’intervalle d’´etude.
8. Tracer la courbe repr´esentative sur [−π,π]. On prendra pour valeur num´erique α≈ 1.2 et f(α)≈ 0.7 (1
unit´e = 2 cm).
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