PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux - niveau supérieur
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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 7 : corrigé Exercice 1. Série harmonique et constante d'Euler. Pour tout entier n ≥ 1 on pose Hn = n∑ k=1 1 k · 1. H1 = 1, H2 = 32 et H3 = 11 6 . 2. (a) Considérons la fonction f définie sur I =] ? 1,+∞[ par f(x) = x ? ln(1 + x). La fonction est dérivable I comme différence de deux fonctions usuelles dérivables et ?x > 1, f ?(x) = 1? 1 1 + x = x 1 + x Il vient donc le tableau de variations de f : x ?1 0 +∞ f(x) +∞ ? 0 ? +∞ Avec lim x?+∞ f(x) = lim x?+∞ x ( 1? ln(1 + x) x ) = +∞ en utilisant une croissance comparée limx?+∞ ln(1+x) x . On voit donc que pour tout x > ?1, f(x) = x? ln(1 + x) ≥ 0, ou encore : ?x > ?1, ln(1 + x) ≤ x. (b) Pour tout entier k > 0, ln (k + 1) ? ln(k) = ln ( 1 + 1k ) .
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PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 7 : corrigé Exercice 1. Série harmonique et constante d'Euler. Pour tout entier n ≥ 1 on pose Hn = n∑ k=1 1 k · 1. H1 = 1, H2 = 32 et H3 = 11 6 . 2. (a) Considérons la fonction f définie sur I =] ? 1,+∞[ par f(x) = x ? ln(1 + x). La fonction est dérivable I comme différence de deux fonctions usuelles dérivables et ?x > 1, f ?(x) = 1? 1 1 + x = x 1 + x Il vient donc le tableau de variations de f : x ?1 0 +∞ f(x) +∞ ? 0 ? +∞ Avec lim x?+∞ f(x) = lim x?+∞ x ( 1? ln(1 + x) x ) = +∞ en utilisant une croissance comparée limx?+∞ ln(1+x) x . On voit donc que pour tout x > ?1, f(x) = x? ln(1 + x) ≥ 0, ou encore : ?x > ?1, ln(1 + x) ≤ x. (b) Pour tout entier k > 0, ln (k + 1) ? ln(k) = ln ( 1 + 1k ) .
- u10 ≈
- approche ?
- puisque lim
- inégalité
- application du théorème d'encadrement
- limite inférieure
PCSI A2011-2012
Mathématiques
Devoir Maison 7 : corrigé
Exercice 1. Série harmonique et constante d’Euler.
Lycée Brizeux
n X 1 Pour tout entiern≥1on poseHn=∙ k k=1 3 11 1.H1= 1,H2=etH3=. 2 6 2. (a)Considérons la fonctionfdéfinie surI=]−1,+∞[parf(x) =x−ln(1 +x). La fonction est dérivableI comme différence de deux fonctions usuelles dérivables et 1x 0 ∀x >1, f(x) = 1−= 1 +x1 +x Il vient donc le tableau de variations def:
x−+1 0∞ f(x) +∞ &0%+∞ ln(1 +x)ln(1+x) Aveclimf(x) =limx1−= +∞en utilisant une croissance comparéelimx→+∞. x x→+∞x→+∞ x On voit donc que pour toutx >−1,f(x) =x−ln(1 +x)≥0, ou encore : ∀x >−1,ln(1 +x)≤x. 1 (b) Pour tout entierk >0,ln (k+ 1)−ln(k) = ln1 +. L’inégalité obtenue à la question 1. nous avec k 1 x=>−1l’inégalité : k 1 ∗ ∀k∈N,ln (k+ 1)−ln(k)≤ ∙ k Soitn≥1. En sommant les inégalités précédentes pourk∈1, ..., nil vient : n n X X 1 (ln (k+ 1)−ln(k))≤ k k=1k=1 n n X X ⇔ln (k+ 1)−ln (k)≤Hn k=1k=1 n+1n X X ⇔ln (k)−ln (k)≤Hn k=2k=1 ⇔ln (n+ 1)−ln (1)≤Hn Donc pour toutn≥1,Hn≥ln(n+ 1). Par comparaison, puisquelim ln(n+ 1) = +∞, nous avons n→+∞ limHn= +∞ n→+∞
3. Onconsidère la suite(un)n≥1définie parun=Hn−ln(n). (a) Pourtout entiern >0,Hn≥ln(n+ 1)≥ln(n)puisquelnest croissante donc : ∀n >0, un≥0.
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