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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 3 : Equations différentielles linéaires. Equations différentielles linéaires du premier ordre. Exercice 1. Résoudre les équations difféntielles suivantes (K = R). Précisez à chaque fois le domaine de définition. (a) y?(t) + 2ty(t) = 0 ; (b) y?(x) = cos(x)y(x) ; (c) dy dt ? t2 1 + t2 y = 0 ; (d) √ tf(t) + f ?(t) = 0. Exercice 2. Résoudre les équations différentielles suivantes (précisez à chaque fois le domaine de définition) : 1. y? + y = 1 ; 2. y? = 2ty + t ; 3. y? + y 2x = 3 2 ; 4. y? ? y x ? x sin(x) = 0 ; 5. y? + y tan(t) = cos3(t). Exercice 3. Résoudre l'équation différentielle avec condition initiale suivante : (E) { (1 + t2)y? ? ty ? t(1 + t2) = 0 y(0) = 2 Exercice 4. Dans cet exercice, on se propose de déterminer une solution particulière sur R pour une équation différentielle linéaire du type : (E) y? = ay + b(t), avec a ? R? et b(t) = P (t)emt où P est

solution particulière

y? ?

solution de l'équation

solution particulière de l'équation différentielle

équation différentielle avec condition initiale

combinaison linéaire

coefficient constant

bornes du générateur

equation différentielle

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Combinaison linéaire Équation différentielle

Lycée Brizeux

Mathématiques

Feuille d’exercices 3 :Equations diﬀérentielles linéaires.

Equations diﬀérentielles linéaires du premier ordre.

PCSI A2010-2011

Exercice 1.Résoudre les équations diﬀéntielles suivantes (K=R). Précisez à chaque fois le domaine de déﬁnition.

0 (a)y(t) + 2ty(t) = 0; 2 dy t (c)−y= 0; 2 dt1 +t

0 (b)y(x) = cos(x)y(x); √ 0 (d)tf(t) +f(t) = 0.

Exercice 2.Résoudre les équations diﬀérentielles suivantes (précisez à chaque fois le domaine de déﬁnition) : 0 1.y+y= 1; 0 2.y= 2ty+t; y3 0 3.y+ =; 2x2 y 0 4.y− −xsin(x) = 0; x 03 5.y+ytan(t() = cost).

Exercice 3.Résoudre l’équation diﬀérentielle avec condition initiale suivante :  202 (1 +t)y−ty−t(1 +t) = 0 (E) y(0) = 2

Exercice 4.Dans cet exercice, on se propose de déterminer une solution particulière surRpour une équation diﬀérentielle linéaire du type : 0 ∗mt (E)y=ay+b(t),aveca∈Retb(t) =P(t)eoùPest un polynôme. n mx 1. Expliquerpourquoi il suﬃt de déterminer une solution pour les équations oùbest de la formeαt eoù ∗ nest un entier naturel etα∈R. n mx On suppose doncb(t) =t e. −mt 2. Soitfune solution de(E). On poseϕ(t) =f(t)e. Montrer queϕest solution de l’équation : 0 0n (E)y= (a−m)y+αt . 0 3. Montrerque(E)admet pour solution particulière : (a) unpolynome de degrén+ 1sia=m. (b) unpolynome de degénsinon. 4. Endéduire une forme pour une solution particulière de(E). 5. Mettreen oeuvre ce principe pour résoudre les équations suivantes : 02 2t0t (E1)y= 3y+ (3t+ 1)eet(E2)y=y+te 6. Expliquezpourquoi cette méthode fonctionne encore sibest de la formeP(t) cos(mt)oùQ(t) sin(mt). 0 02 7. Résoudreles équations :y=y+ cos(2x)ety=y+ cos(x). Remarque : cette méthode est, pour ce type d’équation, plus eﬃcace que la méthode de variation de la constante.

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