PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux
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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 4 : corrigé Exercice I. Une courbe paramétrée On étudie la courbe paramétrée ? définie sur ]? pi, pi[ par ?(t) ? ???? ???? x(t) = tan ( t 2 ) , t ?]? pi, pi[ y(t) = t+ pi2 4t Notons C? le support de ?. 1. Domaine d'étude Domaine de définition. x est définie et de classe C1 sur ]?pi, pi[. y est définie et de classe C1 sur R?. Donc ? est définie et de classe C1 sur ]? pi, 0[?]0, pi[. Restriction. x et y sont impaires : donc C? est symétrique par rapport à O. On trace C? pour t ?]0, pi[ puis on complète par symétrie par rapport à O. 2. Variations simultanées Les fonctions coordonnées x et y sont dérivables sur ]0, pi[ et x?(t) = 1 2 ( 1 + tan2 ( t 2 )) et y?(t) = 4t2 ? pi2 4t2 Nous avons le tableau de variations : t 0 pi2 pi x?(t) 12 + 1 + x(t) 0 ? 1 ? +∞ y(t) +∞ ? pi ? 5pi4 y?(t) || ? 0 + 3.
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PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 4 : corrigé Exercice I. Une courbe paramétrée On étudie la courbe paramétrée ? définie sur ]? pi, pi[ par ?(t) ? ???? ???? x(t) = tan ( t 2 ) , t ?]? pi, pi[ y(t) = t+ pi2 4t Notons C? le support de ?. 1. Domaine d'étude Domaine de définition. x est définie et de classe C1 sur ]?pi, pi[. y est définie et de classe C1 sur R?. Donc ? est définie et de classe C1 sur ]? pi, 0[?]0, pi[. Restriction. x et y sont impaires : donc C? est symétrique par rapport à O. On trace C? pour t ?]0, pi[ puis on complète par symétrie par rapport à O. 2. Variations simultanées Les fonctions coordonnées x et y sont dérivables sur ]0, pi[ et x?(t) = 1 2 ( 1 + tan2 ( t 2 )) et y?(t) = 4t2 ? pi2 4t2 Nous avons le tableau de variations : t 0 pi2 pi x?(t) 12 + 1 + x(t) 0 ? 1 ? +∞ y(t) +∞ ? pi ? 5pi4 y?(t) || ? 0 + 3.
- point singulier
- equation cartésienne
- pi ?
- tangente horizontale
- classe c1
- courbe paramétrée
- lim ??pi
- aire du triangle amn
PCSI A2011-2012
Mathématiques
Devoir Maison 4 : corrigé
Exercice I. Une courbe paramétrée t x(t) = tan, t∈]−π, π[ 2 On étudie la courbe paramétréeγdéfinie sur]−π, π[parγ(t) 2 π y(t) =t+ 4t NotonsCγle support deγ.
1.Domained’étude
Lycée Brizeux
1 1∗ Domaine de définition.xest définie et de classeCsur]−π, π[.yest définie et de classeCsurR. Doncγest définie 1 et de classeCsur]−π,0[∪]0, π[. Restriction.xetysont impaires : doncCγest symétrique par rapport àO. On traceCγpourt∈]0, π[puis on complète par symétrie par rapport àO.
2. Variations simultanées Les fonctions coordonnéesxetysont dérivables sur]0, π[et 2 2 1t4t−π 020 x(t) =1 + tanety(t) = 2 2 24t Nous avons le tableau de variations : π t0π 2 01 x(t) +1 + 2 x(t) 0%1%+∞ 5π y(t) +∞ &π% 4 0 y(t)|| −0 +
3. Point remarquable π •Ent=, au pointM(1, π)le vecteur vitesse a pour coordonnées(1,0):Cγadmet une tangente horizontale. 2
4. Branches infinies + •Lorsquet→0, on ax(t)→0ety(t)→+∞:Cγadmet une asymptote d’équationx= 0. −5π5π •Lorsquet→π, on ax(t)→+∞ety(t)→:Cγadmet une asymptote d’équationy=. 4 4
5. Points doubles
L’applicationx:]−π, π[→Rest continue et strictement croissante. Commelimx(t) =−∞etlimx(t) = +∞, t→−π t→π l’applicationxest bijective. 2 PosonsD=]π, π[\{0}. Soit(t1, t2)∈D. Siγ(t1) =γ(t2)alorsx(t1) =x(t2). Commexest injective nous avons t1=t2: la courbeCγne présente aucun point double.
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