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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Relations d'ordre 1 Généralités Définition 1.1. Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur l'ensemble E est un sous-ensemble G ? E ? E. Si (x, y) ? G, on note par exemple xRy. Exemples. 1. La relation d'égalité x = y est une relation binaire. 2. Soit f : E ? F une application. La relation xRfy ? f(x) = f(y) est une relation binaire sur E. Soit R une relation sur E. On dit que R est : ? réflexive si ?x ? E, xRx ; ? symétrique si ?(x, y) ? E2, xRy ? yRx ; ? antisymétrique si ?(x, y) ? E2, xRy et yRx ? x = y ; ? transitive si ?(x, y, z) ? E3, xRy et yRz ? xRz. On distingue deux types de relation particulièrement importantes : Définition 1.2. On appelle : ? relation d'équivalence toute relation réflexive, symétrique et transitive. ? relation d'ordre toute relation réflexive, antisymétrique et transitive. La relation d'ordre la plus commune est la relation supérieure ou égale (resp. inférieur ou égal) que l'on met sur l'ensemble R des nombres réels.

relation xrfy ?

bornes supérieure

relation d'ordre

relation d'ordre strict

appelé borne

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Français

Relation d'ordre

PCSI A2011-2012

1 Généralités

Mathématiques

Relations d’ordre

Lycée Brizeux

Déﬁnition 1.1.SoitEun ensemble. Une relation binaireRsur l’ensembleEest un sous-ensembleG⊂E×E. Si (x, y)∈G, on note par exemplexRy.

Exemples. 1. Larelation d’égalitéx=yest une relation binaire. 2. Soitf:E→Fune application. La relationxRfy⇔f(x) =f(y)est une relation binaire surE.

SoitRune relation surE. On dit queRest : ?réﬂexive si∀x∈E,xRx; 2 ?symétrique si∀(x, y)∈E,xRy⇒yRx; 2 ?antisymétrique si∀(x, y)∈E,xRyetyRx⇒x=y; 3 ?transitive si∀(x, y, z)∈E,xRyetyRz⇒xRz. On distingue deux types de relation particulièrement importantes : Déﬁnition 1.2.On appelle : ?relation d’équivalence toute relation réﬂexive, symétrique et transitive. ?relation d’ordre toute relation réﬂexive, antisymétrique et transitive.

La relation d’ordre la plus commune est la relation "supérieure ou égale" (resp. "inférieur ou égal") que l’on met sur l’ensembleRdes nombres réels. Cette relation se note≥(resp.≤). Par extension, on note souvent≥(resp.≤) une relation d’ordre sur un ensembleE. On rencontre cependant bien d’autres relations d’ordre.

Exemples. 1. SoitEun ensemble. La relationA⊂Best une relation d’ordre surP(E). 2. Larelationndivisemest une relation d’ordre surN. 3. SoitEl’ensemble des fonctions d’un ensembleAversR; la relationg≥fsigniﬁant∀x∈A, g(x)≥f(x)est une relation d’ordre. Remarque.La relationd’ordre strictse déﬁnit de la manière suivante :x < ysi et seulement six≤yetx6=y. Une relation d’ordre strict n’est pas une relation d’ordre au sens déﬁni précédemment.

2 Vocabulaire; comparaison d’éléments

2.1 Généralités

Déﬁnition 2.1.Un ensemble ordonné est un ensemble muni d’une relation d’ordre. 2 Un ensemble ordonné(E,≤)est dit totalement ordonné lorsque :∀(x, y)∈xE ,≤youy≤x.

Autrement dit, dans un ensemble totalement ordonné, deux éléments peuvent toujours tre comparés. L’ensembleRest totalement ordonné. Par contre considérons l’ensembleF(R,R)des fonctions deRversRet munissons cet ensemble 2 de la relation d’ordref≤g⇔ ∀(x, y)∈R, f(x)≤g(x). L’ensemble ordonné(F(R,R),≤)n’est pas totalement 2 3 ordonné ;par exemple vous ne pouvez pas comparer les fonctionsx7→xetx7→x. Remarque.Tout sous-ensembleAd’un ensemble ordonnéEest ordonné par la relation d’ordre induite.

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