PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux
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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 16. Matrices. La matrice d'une application f ? L(Kp,Kn) de la base canonique de Kp vers celle de Kn est dite matrice canoniquement associée à f . Réciproquement toute matrice A ?Mn,p(K) définit canoniquement une application linéaire f ? L(Kp,Kn). Calcul matriciel. Exercice 1. Soit A = ? ? 1 0 3 ?2 1 1 0 0 1 ? ? ; B = ? ? 1 3 0 ?1 0 1 ? ? ; C = ( ?1 2 0 ) . Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : AB ; BA ; CB ; A2 ; CAB; AC ;B2 Solutions : Les produits BA, AC et B2 sont impossibles. Pour le reste nous avons : AB = ? ? ? 1 6 ?2 ?6 0 1 ? ? ? ; CB = ( ?1 ?5 ) ; A2 = ? ? ? 1 0 6 ?4 1 ?4 0 0 1 ? ? ? ; CAB = ( ?5 ?18 ) Exercice 2. Soit ? ? R. On considère la matrice suivante : A = ( cos(?) ? sin(?) sin(?) cos(?) ) 1.
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PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 16. Matrices. La matrice d'une application f ? L(Kp,Kn) de la base canonique de Kp vers celle de Kn est dite matrice canoniquement associée à f . Réciproquement toute matrice A ?Mn,p(K) définit canoniquement une application linéaire f ? L(Kp,Kn). Calcul matriciel. Exercice 1. Soit A = ? ? 1 0 3 ?2 1 1 0 0 1 ? ? ; B = ? ? 1 3 0 ?1 0 1 ? ? ; C = ( ?1 2 0 ) . Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : AB ; BA ; CB ; A2 ; CAB; AC ;B2 Solutions : Les produits BA, AC et B2 sont impossibles. Pour le reste nous avons : AB = ? ? ? 1 6 ?2 ?6 0 1 ? ? ? ; CB = ( ?1 ?5 ) ; A2 = ? ? ? 1 0 6 ?4 1 ?4 0 0 1 ? ? ? ; CAB = ( ?5 ?18 ) Exercice 2. Soit ? ? R. On considère la matrice suivante : A = ( cos(?) ? sin(?) sin(?) cos(?) ) 1.
- dite matrice
- espace de dimension
- espaces de matrices
- base canonique de r3
- application linéaire
- changement de base
PCSI A2011-2012
Mathématiques
Feuille d’exercices 16.Matrices.
Lycée Brizeux
p np n La matrice d’une applicationf∈ L(K,K)de la base canonique deKle devers celKest dite matrice canoniquement associée p n àf. Réciproquement toute matriceA∈ Mn,p(K)définit canoniquement une application linéairef∈ L(K,K).
Calcul matriciel. 1 03 13 Exercice 1.SoitA=−;2 1 1B= 0−1 ;C=−1 2 0. 0 01 01 Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : 2 2 AB;BA;CB;A;CAB;AC;B
Solutions: 2 Les produitsBA,ACetBsont impossibles. Pour le reste nous avons : 1 61 0 6 2 AB=−2−6 ;CB=−1−5 ;A=−4 1−4 ;CAB=−5−18 0 10 0 1
Exercice 2.Soitθ∈R. On considère la matrice suivante : cos(θ)−sin(θ) A= sin(θ) cos(θ) n 1. Pourtoutn∈N, calculerA(procédez par récurrence). −1 2. MontrerqueAest inversible et calculerA. n 3. DéterminerApour toutn∈Z. Exercice 3.On considère les matrices suivantes : 1 0 00 0 1 I31 0= 0etJ= 00 0 0 0 10 0 0 On poseU=I3+J 2 1. CalculerJ. n 2. Pourtoutn∈N, calculerUà l’aide de la formule du binôme. −1n 3. MontrerqueTest inversible et calculerU. DéterminerUpour toutn∈Z. 0 1 1 Exercice 4.Soit la matriceA0 1= 1. 1 1 0 3 1. VérifierqueA−3A−2I3= 0M3(R) −1−1 2. Endéduire queAest inversible et calculerA.ExprimerAcomme un polynôme enA.
Espaces de matrices.
+ K)des matrices triangulaires supérieures Exercice 5.Dans l’espaceMn(K)on considère les sous ensemblesTn( − etT(K)des matrices triangulaires inférieures strictes (i.e. tous les éléments de la diagonales sont nuls). n +− 1. Montrerq etT(K)sont des sous-espaces vecto ueTn(K)nriels deMn(K). +− 2. Déterminerles dimensions deT(K)etT(K). n n +− 3. MontrerqueT(K)etT(K)sont supplémentaires. n n
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