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Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 4 : Les nombres complexes. Généralités, révisions. Exercice 1. Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : (3? i)3 ; 1 + 2i 2? i ; 1 1 + i + 1 1? i ; 1 1 + ei? , ? ? R ; z + 1 z , z ? C. Exercice 2. Déterminer l'ensembles des couples (z, z?) ? C2 tels que Re(zz?) = Re(z) Re(z?) puis tels que Im(zz?) = Im(z) Im(z?). Exercice 3. Equations de degré deux à coefficients réels. On considère l'équation d'inconnue z ? C : az2 + bz + c = 0, avec a, b, c ? R et a 6= 0. 1. Montrer que cette équation admet des racines réelles ou complexes conjuguées. 2. Applications : résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; 5z2 ? 2z + 1 = 0. Exercice 4. Racines carrés dans C. Déterminer les racines carrées dans C de 2i, 8? 6i et ?3 + 4i. Exercice 5. Soit a et b deux nombres complexes distincts.
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PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 4 : Les nombres complexes. Généralités, révisions. Exercice 1. Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : (3? i)3 ; 1 + 2i 2? i ; 1 1 + i + 1 1? i ; 1 1 + ei? , ? ? R ; z + 1 z , z ? C. Exercice 2. Déterminer l'ensembles des couples (z, z?) ? C2 tels que Re(zz?) = Re(z) Re(z?) puis tels que Im(zz?) = Im(z) Im(z?). Exercice 3. Equations de degré deux à coefficients réels. On considère l'équation d'inconnue z ? C : az2 + bz + c = 0, avec a, b, c ? R et a 6= 0. 1. Montrer que cette équation admet des racines réelles ou complexes conjuguées. 2. Applications : résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; 5z2 ? 2z + 1 = 0. Exercice 4. Racines carrés dans C. Déterminer les racines carrées dans C de 2i, 8? 6i et ?3 + 4i. Exercice 5. Soit a et b deux nombres complexes distincts.
- équation d'inconnue z ?
- argument ?
- racine
- plan euclidien
- repère orthonormé
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Feuille d’exercices 4 :escoombrxes.mplenseL
Généralités, révisions.
Exercice 1.Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : 1 + 2i1 11 1 3 (3−i); ;+;, θ∈R;z+, z∈C. iθ 2−i1 +i1−i1 +e z
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020 0 Exercice 2.Déterminer l’ensembles des couples(z, z)∈Ctels queRe(zz) = Re(z) Re(z)puis tels que 0 0 Im(zz) = Im(z) Im(z).
Exercice 3.Equations de degré deux à coefficients réels. On considère l’équation d’inconnuez∈C: 2 az+bz+c= 0,aveca, b, c∈Reta6= 0. 1. Montrerque cette équation admet des racines réelles ou complexes conjuguées. 2. Applications: résoudre dansCles équations suivantes : 2 2 z+z+ 1 = 0; 5z−2z+ 1 = 0. Exercice 4.Racines carrés dansC. Déterminer les racines carrées dansCde2i,8−6iet−3 + 4i.
Exercice 5.Soitaetbdeux nombres complexes distincts. |z−a| 1. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztel que= 1. |z−b| √ |z−3|2 2. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztels que=. |z−5|2 2 Exercice 6.L’identité du parrallélogramme.Montrer que pour tout(u, v)∈C, on a l’égalité : 2 22 2 |u+v|+|u−v|= 2(|u|+|v|). En identifiant le plan euclidien muni d’un repère orthonormé etC, donner une interprétation géométrique pour cette égalité.
Exercice 7.L’inégalité triangulaire. 020 0 1. Déterminerles couples(z, z)∈Ctels que|z+z|=|z|+|z|. P P n n 2. Généralisation: montrer par récurrence que pour tout entiern≥1,∀(zk)1≤k≤n,|zk| ≤|zk|, k=1k=1 puis étudier le cas d’égalité. 0 Exercice 8.Soientz, zdeux nombres complexes. Établir l’inégalité suivante puis étudier le cas d’égalité : 1 202 ¯0 Re(z z)≤ |z|+|z|. 2
−→−→ Exercice 9.(O;ji ,)est un repère orthonormal du plan complexe.Fest l’application du plan dans lui-mme z iz¯ qui au pointMd’affixezassocie le pointF(M)d’affixef(z+) =. 2 2 1. Déterminerl’ensembleDdes points fixes deF. −→−→ 0 2. MontrerqueMappartient à la droiteΔMpassant parMet de vecteur directeuri−j. 3. Montrerque pour toutz∈C:f(f(z)) =f(z). En déduire une caractérisation géométrique deF. z−i Exercice 10.On considère l’application complexef:=z7→. z+i 1. Déterminerle domaine de définition defet montrer quefenvoie le demi-plan complexe supérieurE= {z∈C|Im(z)>0}sur le disque unitéF={z∈C| |z|<1}. 2. Montrerquef:E→Fadmet une application réciproque que l’on déterminera. 1
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Révisions : un peu de trigonométrie sans complexe.
Exercice 11.Soita∈[−1,1]un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1.arccos(x) + arccos(a) =π. 2.arccos(a) + arcsin(x) =π. 3.arccos(xarccos() = 2a). (Attention à l’intervalle de définition dea). Exercice 12.Résoudre l’équation suivante : 1 1 arcsin(x)) + arcsin() = arcsin(, x∈R. 3 4
Exercice 13.Résoudre les équations suivantes d’inconnuex: √ a)cos(x)−3 sin(x) = 1b)cos(x) + sin(x) = 1
c)αcos(2xsin() = 4x), α∈R
d)tan(2x−1) = tan(x)
Exercice 14.Calculer les sommes suivantes :
n X π a)sin(k). 2 k=0
Forme trigonométrique, racinesn-ièmes.
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n X 4k+ 1 b)cos(π). 4 k=0
Exercice 15.Écrire sous forme trigonométrique et algébrique le complexe π 1. demodule1et d’argument−. 4 π 2. demodule2.et d’argument 8 3. produitdes deux précédents. √ u Exercice 16.Mettre sous forme trigonométrique les complexesu= 3−ietv=−1 +i. En déduireuvet . v
Exercice 17.Pour quelles valeurs de l’entier relatifn∈Z? :les complexes suivants sont-ils réels n n an=ietbn= (1 +i). Lorsquenest positif, développerbnà l’aide de la formule du binôme de Newton. Quelles relations en déduit-on pour les coefficients binomiaux?
Exercice 18.Déterminer le module et l’argument des solutions complexes de l’équation : 2 2 z−2rcos(ϕ)z+r= 0,avecr >0etϕ∈R A quelle condition les solutions sont-elles réelles? Pourquoi tout polynôme unitaire de degré2à coefficients réels et discriminant négatif peut-il s’écrire sous la 2 2 formez−2rcos(ϕ) +r? √ 2 2 En déduire l’ensemble des solutions des équations(Er) :=z−r3z+r= 0, r≥0.
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02 Exercice 19.Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants ((θ, θ)∈R) : iθ 1−e 0 0 iθ iθiθ iθiθ iθ 1 +e; 1−e;e+e;e−e;. iθ 1 +e Remarques : faites un dessin! Quelles formules de trigonométrie retrouve-t-on ici?
Exercice 20.Résoudre dansRle système d’équations suivantes : cos(x) + cos(2x)=−1 sin(x) + sin(2x0) =
Exercice 21.Étant donnéa∈R, résoudre dansRle système d’inconnuesx, y: cosx+ cosy= 1+ cosa sinx+ siny= sina
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1 +i Exercice 22.On considère le nombre complexez=√. 2 1. Détermineralgébriquement les racines carrées dez. 2. A partir d’une forme trigonométrique pourz, déterminer une forme trigonométrique pour les racines carrées dez. π π 3. Endéduire les nombrescosetsin. 8 8 2iπ Exercice 23.On poseζ=e. 5 1. Apartir deζ, expliciter les racines5-ièmes de l’unité. 4 23 2. Montrerque la somme de ces racines est nulle. On poseu=ζ+ζetv=ζ+ζ. 3. Calculeru+vetuv. π 4. Endéduireu,vet le nombrecos. 5 Exercice 24.Déterminer : 1. lesracines carrées, cubiques et quatrièmes de2iet1 +ique l’on représentera graphiquement. 2. lesracines cinquièmes de−i. √ −4 3. lesracines sixièmes de3. 1+i Exercice 25.Pour toutθ∈Ret tout entier natureln, calculer les deux sommes suivantes : n n X X A(θcos() =kθ)etB(θsin() =kθ) k=0k=0
Exercice 26.Étant donnésn∈Netθ∈R, simplifier : n nn 1 +cos(θ) +cos(2θ) +∙ ∙ ∙+ cos(n θ). 1 2n
Exercice 27.Résoudre l’équation suivante : n−1 X cos(k θ) = 0avecθ∈R. k (cosθ) k=0
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π 2i k n Exercice 28.On noteζ1=eetζk=ζpour0≤k≤n−1les racinesn-ièmes de l’unité. Calculer les 1 sommmes suivantes : n−1n−1 X X 2 An=|ζk−1|etBn=|ζk−1|. k=0k=0
Résolution d’équations.
Exercice 29.Résoudre dansCles équations algébriques suivantes : 2 22 (a)x−x−i+ 1 = 0; (b)x−(1 +i)x−6−2i= 0; (c)x+ (1−2i)x−(3 +i) = 0; 3 63 42 (d)x−1 +i= 0; (e)x+x+ 1 = 0; (f)x−2ix−1 = 0; 6 6n n−1 2n2n (e)27(x−1) +(x= 0+ 1); (f)x+ 2x+∙ ∙ ∙+ 2x+ 1 = 0; (g)(1 +x) =(1−x),n∈N. Exercice 30.Résoudre dansC, l’équation suivante : 3 2 z+i z+i z+i + ++ 1 = 0. z−i z−i z−i u+v=−1 Exercice 31.Résoudre le système : uv= 1 Exercice 32.Déterminer le module et un argument des racines du trinôme : 2 z−2(1 + cos(φ))z+ 2(1 + cos(φ)) = 0.
2 37 2 Exercice 33.Résoudre les équations suivantes :(a)z¯ = 2z; (b)z=−16z¯; (c)z+z¯ = 2.
Expressions trigonométriques.
Exercice 34.Linéariser les expressions suivantes : 3 32 4 (a) cos(θ) ;(b) sin(θ) cos(θ) ;(c) sin(θ) cos(θ). cos(3θ)+3 cos(θsin() 2θ)+sin(3θ)−sin(5θ) cos(5θ)−3 cos(3θ)+2 cos(θ) Solutions :(a);(b);(c). 4 1616
Exercice 35.(a)Résoudre :cos(x) + sin(x) = 1; (b)sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.
Exercice 36.Montrer quesin(5θ) =P(sin(θ))oùPest un polynome de degré5. Déterminer les racines deP. π En déduire une valeur poursin. 5
sin(nθ) Exercice 37.Soitn≥1peut s’écrire comme un polynome enun entier. Montrer quecos(θ). Déterminer sin(θ) un tel polynome pourn= 2etn= 3.
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