PCSI A Informatique Lycée Brizeux
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Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 3 : Autour de la cardioïde Nous avons déjà vu la cardioïde en tant que courbe cycloïdale : la trajectoire d'un point sur un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même rayon est une cardioïde. L'objectif de ce TP est d'étudier à l'aide du logiciel Maple certaines propriétés de la cardioïde. 1 Courbes en coordonnées polaires On commence par charger la librairie plot à l'aide de la commande with(plots). 1.1 Généralités sur la fonction plot Une courbe paramétrée (x(t), y(t)) se représente à l'aide de la commande plot de la manière suivante : plot([x(t),y(t),t=t0..t1]) ; Pour représenter un ensemble de points décrit par une équation cartésienne f(x, y) = 0, on utilise la commande implicitplot : implicitplot(f(x,y)=0,x=a..b,y=c..d) ; Une courbe d'équation polaire ? = f(?) se représente à l'aide de la commande plot ou de la commande polarplot. La syntaxe est la suivante : plot([f(t),t,t=t0..t1],coords=polar) ; On peut ajouter certains arguments qui imposent par exemple des axes orthonormés ou une fenêtre bien précise.
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PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 3 : Autour de la cardioïde Nous avons déjà vu la cardioïde en tant que courbe cycloïdale : la trajectoire d'un point sur un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même rayon est une cardioïde. L'objectif de ce TP est d'étudier à l'aide du logiciel Maple certaines propriétés de la cardioïde. 1 Courbes en coordonnées polaires On commence par charger la librairie plot à l'aide de la commande with(plots). 1.1 Généralités sur la fonction plot Une courbe paramétrée (x(t), y(t)) se représente à l'aide de la commande plot de la manière suivante : plot([x(t),y(t),t=t0..t1]) ; Pour représenter un ensemble de points décrit par une équation cartésienne f(x, y) = 0, on utilise la commande implicitplot : implicitplot(f(x,y)=0,x=a..b,y=c..d) ; Une courbe d'équation polaire ? = f(?) se représente à l'aide de la commande plot ou de la commande polarplot. La syntaxe est la suivante : plot([f(t),t,t=t0..t1],coords=polar) ; On peut ajouter certains arguments qui imposent par exemple des axes orthonormés ou une fenêtre bien précise.
- courbe
- cercle
- equation cartésienne
- famille dt
- cardioïde
- caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle
- équation paramétrique pour l'enveloppe de la famille de droites r?
PCSI A 20092010
Informatique
TP 3 : Autour de la cardioïde
Lycée Brizeux
Nous avons déjà vu la cardioïde en tant que courbe cycloïdale : la trajectoire d’un point sur un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même rayon est une cardioïde. L’objectif de ce TP est d’étudier à l’aide du logiciel Maple certaines propriétés de la cardioïde.
1 Courbesen coordonnées polaires
On commence par charger la librairieplotà l’aide de la commandewith(plots).
1.1 Généralitéssur la fonctionplot
Une courbe paramétrée (x(t), y(t)) se représente à l’aide de la commandeplotde la manière suivante :
plot([x(t),y(t),t=t0..t1]);
Pour représenter un ensemble de points décrit par une équation cartésiennef(x, y) = 0, on utilise la commande implicitplot: implicitplot(f(x,y)=0,x=a..b,y=c..d); Une courbe d’équation polaireρ=f(θ) se représente à l’aide de la commandeplotou de la commande polarplot. La syntaxe est la suivante :
plot([f(t),t,t=t0..t1],coords=polar);
On peut ajouter certains arguments qui imposent par exemple des axes orthonormés ou une fenêtre bien précise. La syntaxe est la suivante :
plot([f(t),t,t=t0..t1],x=a..b,y=c..d,coords=polar,scaling=constrained);
Exercice 1.Tracer dans un repère orthonormé la cardioïde d’équation polaireρ= 1+ cos(θ). Vérifier que 2 22 22 la courbe admet pour équation cartésienne (x+y−x) =x+y. Représenter cette courbe à l’aide de la fonctionimplicitplot. Il est possible de représenter une famille de courbes sur un même graphe. Par exemple, pour représenter en même temps les courbes d’équationsρ=f(θ) etρ=g(θ), on peut utiliser :
plot([[f(t),t,t=t0..t1],[g(t),t,t=t0..t1]],coords=polar).
Nous utliserons également dans la suite la fonctiondisplay(voir l’aide). ∗ Exercice 2.Une courbe d’équation polaireρ=acos(θ) +b, aveca∈Retb∈Rest appelée limaçon de Pascal. Représenter sur un même graphe toutes le courbes :ρ(θ) =k/4 + cos(θ) oùk∈ {1..8}est un entier. Remarque : il est vivement conseillé d’utiliser la fonctionseqpour construire une liste.
1.2 Retoursur la cardioïde
La fonctionanimatede Maple permet de réaliser des animations. La commande suivante donne un point de vue dynamique de la contruction de la cardioïde :
animate( [1+cos(u*t),u*t,t=0..2*Pi],u=0..1,coords=polar,scaling=constrained);
Exercice 3.Réaliser une construction animée de la courbe d’équation polaireρ= 2cos(θ)−cos(2θ). Venonsen maintenant à l’étude de la cardioïde. On se propose de vérifier à l’aide de Maple le résultat suivant :
1
