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chaeh

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Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 5 : suites convergentes. Polynômes. Exercice 1. Limite d'une suite. L'objectif de ce premier exercice est de manipuler à l'aide du logiciel Maple la définition de la limite d'une suite de nombres réels. Rappelons qu'on dit qu'une suite (un)n?N converge vers le réel l ? R lorsque : ?? > 0, ?N? ? N, ?n ≥ N?, |un ? l| ≤ . On se propose dans cet exercice de déterminer, pour une suite convergente donnée et une précision ? donnée, une valeur possible pour l'entier N?. Pour simplifier, nous considérons des suites (un) de réels qui satisfont les deux hypothèses suivantes : 1. lim n?+∞ un = 0 ; 2. (un) est décroissante. Nous avons alors la chose suivante : étant donnée une précison ? > 0, il existe un entier N? tel que tous les termes de la suite (un) de rang n ≥ N? sont tels que 0 ≤ un ≤ ?. Autrement dit, à partir du rang N? tous les termes de suites sont plus petits que le réel fixé ?. Pour chacune des suites ci-dessous et chacune des précisions données dans les tableaux ci-dessous, déterminer un entier N? qui convient (de préférence le plus petit).

tableau réponse

précisions données dans les tableaux

polynôme

interpolation polynomiale

précision ?

reste de la division euclidienne de x9

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Polynôme Interpolation polynomiale

Lycée Brizeux

Mathématiques

TP 5 : approximations de zéros

1 Etuded’une fonction avec Maple

PCSI A2010-2011

2 sin (x) Exercice 1.On considère la fonctionfdéﬁnie parf(x) =∙ 2−2 cos(x) 1. Créerla fonctionfavec Maple. 2. Lapremière des choses à faire est de déterminer un domaine de déﬁnition pourf. Utilisez pour cela la commande singular. Que réalise cette commande? Préconiser un intervalle d’étudeI=......... 3. Tracerle graphe def. 4. Etudede la continuité. (a) Testerà l’aide de la commandeiscontla continuité defsurR. (b) Calculerà l’aide de la commandelimitla limite defen0. Comment prolongerfpar continuité en0? sur R? 5. Etudede la dérivabilité du prolongement. (a) Calculerla dérivée defet calculer sa limite en0. Que peut-on en conclure? (b) Mmequestion avec la dérivée seconde def.

2 Approximationsde zéros

Résoudre de manière exacte une équation du typef(x) = 0oùfest une fonction de la variable réelle n’est pas toujours possible (mme si on peut aﬃrmer l’existence d’au moins une solution); il faut alors chercher des solution approchée (cf. TP4). On rappelle que la fonctionsolve(suivie deevalf) (oufsolve) permet de déterminer des solutions approchées d’équations du typef(x) = 0?? Sont-elles précises. Mais comment sont déterminées ces approximations Il s’agit dans cette partie d’étudier deux méthodes qui pemettent d’obtenir des valeurs approchées de zéros de fonctions. Nous nous eﬀorcerons toujours, lorsqu’on approche un réel, de majorer l’erreur commise par l’approximation.

2.1Laméthodededichotomie

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue. On cherche une valeur approchée, avec une précisionε >0donnée, pour une solution de l’équationf(x) = 0. Sif(a)f(b)<0alors le théorème des valeurs intermédiares nous garantit l’existence d’une solution. L’idée est de construire deux suites adjacentes(an)n∈Net(bn)n∈Nqui convergent vers une solutionα. Rappelons comment sont construites ces suites : On suppose quef: [a, b]→Rest continue et quef(a)<0etf(b)>0.

•On posea0=aetb0=b. an+bn •Pour toutn≥0, soitmn=: 2 ( an+bn an+1=mn= ?sif(mn)≤0;on pose 2 bn+1=bn ( an+1=an ?sif(mn)>0on posean+bn. bn+1=mn= 2

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