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chaeh

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Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 4 : approximation de réels. Principe de dichotomie. Ce TP a pour objet les nombres réels ainsi que leur représentation dans le logiciel Maple. Nous construisons dans un second temps des suites de rationnels convergeant vers certains réels (notamment √ 2). 1 Représentation des nombres réels Maple est un logiciel de calcul formel ; il réalise des calculs exacts sur des objets tels que que les nombres entiers ou rationnels (integer ou fraction). Travailler avec un nombre réel r est a priori un problème délicat. Il y a plusieurs solutions : 1. Le nombre réel apparaît comme solution d'une équation algébrique (exemple : r = √ 2 est la solution positive de x2 ? 2 = 0) ; on manipule alors le nombre de manière formelle (on utilise pour manipuler r = √ 2 la relation r2 = 2). 2. La seconde possibité est d'approcher le réel par son développement décimal (la virgule est représentée par un point). Les nombres réels ainsi approchés sont appelés nombres flottants (float dans la terminologie Maple). Les nombres réels non décimaux ayant une infinité de décimales ne peuvent être connus que de manière appro- chée. Le nombre de chiffres significatifs employés peut se modifier avec la commande Digits. La commande evalf renvoie une approximation décimale du réel. Exercice 1.

logiciel de calcul formel

vaste problème

décimales de la solution

résolution de l'équation cos

représentation dans le logiciel maple

problème d'approximation

Voir

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Système de calcul formel

Lycée Brizeux

1Développementslimités

Mathématiques

TP 4 : Polynômes

PCSI A2010-2011

Les développements limités peuvent tre réalisés à l’aide de la commandeseries(ou plus simplementtaylor). Attention, l’ordre indiqué dans la fonction est l’ordre du premier terme qui est négligeable. De plus Maple utilise la notationOet nono. Exercice 1.Déterminer les développements limités des fonctions suivantes aux points et aux ordres indiqués :

2 ln(1 + sin(x)) 1.x7→, enx= 0à l’ordre6; 3 1 + arctan(x) π 2.x7→cos(x), enx=à l’ordre12; 4 3.x7→sin(sin(sin(x))), enx= 0à l’ordre5; 4.x7→sin(sin(sin(...(sin(x))))), enx= 0à l’ordre5; | {z } 2011fois

2 Manipulationsgénérales sur les polynômes

2.1 Desfonctions Maple

3 Pour déﬁnir le polynômeP=X+ 2X+ 1en une indéterminéeX, on peut procéder de la manière suivante : P:=X^3 + 2*X + 1; > 3 P:=X+ 2X+ 1

Vous pouvez naturellement choisir d’appeler votre indéterminéeT,Z2outruc... Le logiciel Maple réalisera les calculs de manière formelle. Pour évaluer le polynômePen1(i.e. calculerP(1)) on pourra procéder de la manière suivante : subs(X=1,P); > Exercice 2.Voici une liste d’exercices. Utiliser les fonctions Maple proposées dans la liste ci-dessous pour résoudre chacun des exercices . Préciser (cf. page 2) ce que réalise chacune des fonctions de la liste. Liste des fonctions :sort;expand;quo;rem;divide;coeff;degree;collect. Liste d’exercices : 2 5 1. Présentersous forme développée et ordonnée le polynôme(X−1)(X+ 1). 13 75 39 2. Déterminer lequotient et le reste de la division euclidienne deX+ 11X+X−5X+ 2X+ 1parX+ 3 2 −X−4X−3. 9 7 3. Soitaetbdeux réels ﬁxés. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deX+aX+X+ 1 3 parX+b. 29 X k2 4. Vériﬁerque le polynômeXest divisible par1 +X+X. k=0 500 Y k 5. Déterminerle coeﬃcient du terme de degré1000du polynôme :R= (X+ 1). k=1 6. Quelest le degré du polynômeR?

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